知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为(1，
1
2
，2)，则m= ．

难度：中等

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2．一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB₁、A₁C₁的中点，MN⊥AB₁．

（Ⅰ）求实数a的值并证明MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）在上面结论下，求平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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3．在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点
（1）求证：CF∥平面A′DE
（2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值．

难度：中等

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4．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）设AB₁的中点为G，问：在矩形BCC₁B₁内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．

难度：较难

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=
3
，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

难度：较难

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6．如图，三角ABC是边长为4正三角形，PA⊥底面ABC，PA=
7
，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥AC．
（1）证明：DE⊥平面PAC；
（2）求直线AD和平面PDE所成角的正弦值．

难度：较难

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7．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，E是SD的中点，AD=
2
，DC=SD=2．
（1）证明：SB∥平面ACE；
（2）求二面角A-SB-C的余弦值；
（3）设点F在侧棱SC上，∠ABF=60°，求
SF
FC
．

难度：中等

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8．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，AA₁=A₁C=CA=2，AB=A1B=
2
．
（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）若
BD
=2
DB1
，在线段CA₁上是否存在一点E，使得DE∥平
面ABC？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值以及BA₁与面C₁EF所成的角的大小．

难度：较易

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10．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的底面是菱形，且∠DAB=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，AD=1，AA₁=a，F为棱BB的中点，M为线段AC的中点．设
AB
=
e1
，
AD
=
e2
，
AA1
=
e3
．试用向量法解下列问题：
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：直线MF⊥面A₁ACC₁；
（3）是否存在a，使平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角是30°？如果存在，求出相应的a 值，如果不存在，请说明理由．（提示：可设出两面的交线）

难度：较难

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