知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=mlnx+x²．（m为常数）
（Ⅰ）当x∈[1，e]时，求函数y=f（x）的零点个数；
（Ⅱ）是否存在正实数m，使得对任意x₁、x₂∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|
1
x1
-
1
x2
|，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．已知定义在R上的函数f（x）=
x+a
x2+1
（a∈R）是奇函数，函数g（x）=
mx
1+x
的定义域为（-1，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=
mx
1+x
在（-1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知定义域为R的函数f（x）=
-2x+1
2x+1+a
是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（Ⅲ）若不等式f（2^x+1）+f（k•2^x+1+2k）＞0在区间[0，+∞）上有解，求实数k的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+
3b
x
（x＞0）在（0，3]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，求b的值；
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+
c
x
（1≤x≤2）的最大值和最小值．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=3x³-ax²+x-5．
（1）若函数f（x）的单调减区间为（
1
9
，1），求实数a的值；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．若函数f（x）=4x²-（m-1）x+5，在[2，+∞）上是增函数，在（-∞，2]上是减函数，求f（-1）的值．

难度：较易

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7．已知函数f（x）=a-
2
2x+1
是奇函数（a∈R）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）试判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+2）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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8．设k∈N₊，f：N₊→N₊满足：（1）f（x）严格递增；（2）对任意n∈N₊，有f[f（n）]=kn，求证：对任意n∈N₊，都有
2k
k+1
n≤f（n）≤
k+1
2
n．

难度：中等

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9．已知函数g（x）=
1
x•sinθ
+2lnx在[
1
2
，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-
m-1
x
，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m≥1，x≥1时，求证：f（x）≥g（x）；
（3）设h（x）=
2e
x
，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=x³-ax²+3x在[2，4]上是单调递增函数，求参数a的取值范围？

难度：中等

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