知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•广西模拟）如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2
2
，直线x=-a与y=b交于点D，且|BD|=3
2
，过点B作直线l交直线x=-a于点M，交椭圆于另一点P．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：
OM
•
OP
为定值．

难度：较难

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2．在椭圆E：
x2
4
+y2=1上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足
DM
=2
DP
，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点B₁（0，1）作直线交椭圆E于A₁，B₁，交曲线C于A₂，B₂，当|A₁B₁|最大时，求|A₂B₂|．

难度：中等

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3．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于
3
2
，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
5
，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若
AP
=3
PB
，求m²的取值范围．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且短轴长为6．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线C相交于A，B两点，且以AB为直角的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知椭圆M：
x2
4b2
+
y2
b2
=1（b＞0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2
3
．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

难度：中等

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6．（2016•天津校级模拟）椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
3
2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的两焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆C的上顶点，求△PF₁F₂内切圆方程；
（Ⅲ）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，求证：直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

难度：较难

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7．已知椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（-2，0），一定点为P（-8，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过P的直线与椭圆交于P₁，P₂两点，求△P₁F₂F面积的最大值及此时直线的斜率．

难度：中等

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8．（2015秋•福州校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为
2
3
3
，过点A的直线与椭圆W交于另一点C，
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程
（Ⅱ）当AC的斜率为
1
3
时，求线段AC的长；
（Ⅲ）设D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D，求直线AC的斜率．

难度：中等

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9．已知抛物线C：x²=2py的焦点与椭圆
y2
4
+
x2
3
=1的上焦点重合，点A是直线x-2y-8=0上任意一点，过A作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N．
（I）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明直线MN过定点，并求出定点坐标．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（
3
2
，1），一个焦点是F（0，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁，A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁，PA₂分别与椭圆C交于M，N两点．试问：当点Q在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒过定点Q？证明你的结论．

难度：中等

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