知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求证：C₁N⊥平面BCN；
（2）求直线B₁C与平面C₁MN所成角θ的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的正弦值．

难度：中等

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3．已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点．
（Ⅰ）求证：BH∥平面AEF；
（Ⅱ）若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

难度：中等

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4．（理科做）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，BC=BD=2，AB=1，则BC和平面ACD所成角的
正弦值为．

难度：中等

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5．（2013秋•湖南校级月考）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．则直线CD与平面AB₁D₁所成的角的余弦值为．

难度：中等

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6．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD中点，M为线段PC上的一点．
（1）若M为PC中点，求证：ME∥平面PAB；
（2）若二面角M-EB-C的平面角为60°，求直线AB与平面MEB所成角的余弦值．

难度：中等

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7．如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PB与平面PAC所成角的正弦值．

难度：中等

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8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是PD中点．
（1）求证：PB∥平面ACM；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．

难度：中等

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9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于点A、D的任意一点．
（Ⅰ）证明：EF⊥FC₁；
（Ⅱ）若AB=
2
，是否存在E满足EF与平面FA₁C₁所成的角为arcsin
30
6
？请说明理由．

难度：中等

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10．如图，四面体ABCD中，点A在平面BCD上的射影O在BD上，点M、N分别是BC、BD的中点，AM与平面BCD成45°角，BC⊥CD，∠BDC=30°，BC=2，BO=1
（1）求证：MN∥平面ACD；
（2）求CA与平面AMN所成角的正弦值．

难度：中等

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