知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，三棱锥D-ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC=CD=1，BC=
3
，点O为AB中点．
（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．

难度：中等

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2．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．

（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量
MN
与
AC
，
BD
共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．

难度：中等

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3．（2015秋•眉山期末）空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是．

难度：较难

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4．在圆柱OO₁中，ABCD是其轴截面，EF⊥CD于O₁（如图所示），AB=2，BC=
2
．
（1）设平面BEF与⊙O所在的平面的交线为l，平面ABE与⊙O₁所在的平面的交线为m，证明：l⊥m；
（2）求二面A-BE-F的余弦值．

难度：中等

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5．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，M为AB的中点．
（1）在侧棱PC上是否存在一点N，使MN∥平面PAD？证明你的结论；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD；
（3）当
AB
AD
取何值，平面PAD与平面PMC所成的锐二面角为45°？

难度：中等

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6．如图所示的一块长方体木料，E、F分别为底边AB、BC的中点，经过平面A₁B₁C₁D₁上一点P，画一条直线与直线EF平行，应该怎样画线？

难度：较易

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7．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形．AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=
5
．
（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；
（2）设M为线段EC上一点，且3EM=EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．已知：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．求证：E、F、G、H四点共面（如图所示）

难度：较易

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9．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD和底面BCD垂直，点F是棱CD上的动点，E，O分别是AD，BD的中点，已知AB=AD=
2
，BD=2CD，∠BAD=∠BDC=90°．
（1）证明：不论点F在棱CD上如何移动，总有OE⊥AF；
（2）求四面体F-DEO的体积的最大值．

难度：中等

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10．空间四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，那么顺次联结四边形各边中点所得的四边形是．

难度：较易

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