知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′-ABC．
（Ⅰ）当C′D=
2
时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）当AC′⊥BD时，求三棱锥C′-ABD的高．

难度：中等

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2．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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3．（2016•泰安一模）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．

难度：中等

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4．（2016•山东二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，其中PA=PB，四边形ABCD是菱形，N为AC的中点，M是△PCD的中线PQ的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）证明：平面MNC⊥平面ABCD．

难度：中等

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5．（2016•枣庄一模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AB，点M、N分别是线段A₁C₁，A₁B的中点．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁AB．
（2）设平面MNB₁与平面BCC₁B₁的交线为l，求证：MN∥l．

难度：较易

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6．如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=
2π
3
．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（2）求三棱锥A-BDE的体积．

难度：中等

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7．（2015秋•天水校级期末）（文科）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，D，E，F分别是AB，BC，CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠CA₁D=45°，求三棱锥F-AEC的体积．

难度：中等

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8．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁．

难度：中等

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9．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧面BCC₁B₁⊥底面ABCD，B₁C=CD=2，BB₁=2
2
．
（1）求证：平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
（2）求直线BD₁与平面A₁B₁CD所成角的正弦值．

难度：中等

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10．如图，在三棱柱FPE-ACB中，AC=BC=2，∠ACB=90°．△PAB为等边三角形，PC⊥BC．
（I）求证：平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值；并求三棱锥p-ABC的体积．

难度：中等

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