知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义：对于数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，bn=qn（-1＜q＜0），n∈N^*，判断数列{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p-摆动数列”{c_n}满足：cn+1=
1
cn+1
，c₁=1．求常数p的值；
（3）设dn=(-1)n•( 2n-1)，n∈N^*，且数列{d_n}的前n项和为S_n．求证：数列{S_n}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*，数列{a_n}满足
1
an+1
=f′(
1
an
)，且a₁=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=
anan+1
，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）并求出T_n的最小值．

难度：中等

解析收藏试题篮

3．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（-∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：
①f（x）=3^x，
②f（x）=

，
③f（x）=x³，
④f（x）=log₂|x|，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（　　）

A．①②③④

B．①④

C．①②④

D．②③

难度：较难

解析收藏试题篮

4．中东呼吸综合征（简称MERS）是由一种新型冠状病毒（MERS-CoV）引起的病毒性呼吸道疾病．截至2015年6月1日，韩国中东呼吸综合征感染者有43人，6月2日，韩国中东呼吸综合征感染者新增2人，3日起每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加1人．由于医疗部门采取措施，MERS病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少1人，到6月20日止，MERS的患者共有180人，问6月几日感染MERS的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．

难度：较难

解析收藏试题篮

5．若数列{a_n}满足：对任意的n∈N^*，只有有限个正整数m使得a_m＜n成立，记这样的m的个数为（a_n）^*，则得到一个新数列{（a_n）^*}．例如，若数列{a_n}是1，2，3，…n，…，则数列{（a_n）^*}是0，1，2，…，n-1，…已知对任意的n∈N^*，a_n=n²，则（（a₄）^*）^*=（　　）

A．8

B．20

C．32

D．16

难度：较难

解析收藏试题篮

6．在数列{a_n}中，对任意n∈N^*，若存在常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+…+λ_ka_n（λ_i≠0，i=1，2，…，k）恒成立，则称数列{a_n}为k阶数列．
①若a_n=2ⁿ，则数列{a_n}为1阶数列；
②若a_n=2n+1，则数列{a_n}为2阶数列；
③若a_n=n²，则数列{a_n}为3阶数列；
以上结论正确的序号是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

难度：中等

解析收藏试题篮

7．已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足
lim
n→∞
b_n=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₄）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₄）．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车120辆，混合动力型公交车300辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入m辆．设a_n，b_n分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，设S_n，T_n分别为n年里投入的电力型公交车，混合动力型公交车的总数量．
（1）求S_n，T_n，并求n年里投入的所有新公交车的总数F_n；
（2）该市计划用8年的时间完成全部更换，求m的最小值．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．已知数列{a_n}满足：a1=
1
2
，
3(1+an+1)
1-an
=
2(1+an)
1-an+1
，a_na_n+1＜0（n≥1），数列{b_n}满足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（Ⅱ）证明：数列{b_n}中的任意三项不可能成等差数列．
（Ⅲ）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2n+1
（n≥1）

难度：中等

解析收藏试题篮
10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若存在实数λ∈（1，+∞），使得
1
λ
a_n≤a_n+1≤λa_n与
1
λ
S_n≤S_n+1≤λS_n对任意n∈N^*都成立．则称{a_n}是“可控”数列．
（1）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=r（r是不为0的常数），试判断{a_n}是否是“可控”数列，并说明理由；
（2）已知等比数列{a_n}的公比q≠1，若当λ=4时，若{a_n}是“可控”数列，求公比q的取值范围；
（3）已知等差数列{a_n}的公差d≠0，若{a_n}是“可控”数列，求λ的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷