知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一点E，使得DE∥平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，AB=2，AD=1，SB=
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，∠BAD=120°，E在棱SD上．
（Ⅰ）当SE=3ED时，求证：SD⊥平面AEC；
（Ⅱ）当二面角S-AC-E的大小为30°时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

难度：中等

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3．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的正弦值．

难度：中等

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4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大小．

难度：中等

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5．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=4，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角．

难度：中等

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6．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，cc₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4．
（1）证明AF⊥平面A₁ED；
（2）求平面A₁ED与平面FED所成的角的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD₁-C的余弦值．

难度：中等

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点．
（I）求异面直线PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
（III）求二面角F-PC-E的大小．

难度：中等

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9．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，
AB
=（-1，2，1），
AD
=（0，-2，3），
AP
═（8，3，2），
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求PC的长．

难度：较易

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10．如图（一），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC，E为AD中点，沿CE折叠，使面DEC⊥面ABCE，在图（二）中．
（I）证明：AC⊥BD
（Ⅱ）求DE与面ACD所成角的余弦值．

难度：中等

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