知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．

已知函数$f(x)=x+\dfrac{a}{x}-4$，$g(x)=kx+3$．
$($Ⅰ$)$对任意的$a\in [4,6]$，函数$\left| f(x) \right|$在区间$[1,m]$上的最大值为$\left| f(x) \right|$，试求实数$m$的取值范围；

$($Ⅱ$)$对任意的$a\in \left[ 1,2 \right]$，若不等式$\left| f(x{}_{1}) \right|-\left| f({{x}_{2}}) \right| < g({{x}_{1}})-g({{x}_{2}})$任意${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 2,4 \right]\ \ ({{x}_{1}} < {{x}_{2}})$恒成立，求实数$k$的取值范围．

难度：较难

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4．（1）求证：函数y=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0， $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D$ ]上是减函数，在[ $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D$ ，+∞）上是增函数．
（2）若f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D-12x-3%7D%7B2x%2B1%7D$ ，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的值域；
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的值．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ +b（x≠0），其中a，b∈R．若对任意的a∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，2]，不等式f（x）≤10在x∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ，1]上恒成立，则b的取值范围为 ______ ．

难度：较易

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6．对任意实数x均有e^2x-（a-3）e^x+4-3a＞0，则实数a的取值范围为 ______ ．

难度：中等

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7．

探究函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x},x∈(0,+∞)$的最小值，并确定取得最小值时$x$的值$.$列表如下：

$x$

$…$

$0.5$

$1$

$1.5$

$1.7$

$1.9$

$2$

$2.1$

$2.2$

$2.3$

$3$

$4$

$5$

$7$

$…$

$y$

$…$

$16$

$10$

$8.34$

$8.1$

$8.01$

$8$

$8.01$

$8.04$

$8.08$

$8.6$

$10$

$11.6$

$15.14$

$…$

请观察表中$y$值随$x$值变化的特点，完成以下的问题．
$(1)$函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间$(0,2)$上递减；函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间 ______ 上递增$.$当$x=$ ______ 时，$y_{最小}=$ ______ ．
$(2)$证明：函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间$(0,2)$递减．
$(3)$思考：函数$y=2x+ \dfrac {8}{x}$时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时$x$为何值？$($直接回答结果，不需证明$)$

难度：较易

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8．
函数$y=x+ \dfrac {4}{x}$的取值范围为 ______ ．

难度：中等

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9．
对任意实数$x $均有${e}^{2x}-\left(a-3\right){e}^{x}+4-3a > 0 $，则实数$a $的取值范围为__________$.$

难度：难

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10．已知函数 $y%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在 $%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%5D$ 上是减函数，在 $%5B%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$ 上是增函数．
（Ⅰ）若函数 $y%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bb%7D%7D%7Bx%7D$ （x＞0）的值域为[6，+∞），求实数b的值；
（Ⅱ）已知 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D-12x-3%7D%7B2x%2B1%7D%EF%BC%8Cx%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C1%5D$ ，求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2c，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数c的值．

难度：中等

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