知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．已知f（x）=2lnx-
1
3
x2+kx．
（1）当k=
2
3
时，求函数y=f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）讨论g（x）=f（x）+
4
3
x2的单调性；
（3）若函数h（x）=xf（x）在定义域内单调递减，k∈Z，求k的最大值．

难度：较难

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4．某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO，且AB⊥BC，OA∥BC，AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以O为顶点，开口向上，且对称轴平行于AB的抛物线的一段．当地政府为科技兴市，欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN，矩形的相邻两边BM，BN分别落在AB，BC上，顶点P在曲线段OC上．问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km²）．

难度：中等

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5．已知函数g（x）=lnx-mx²-nx（m，n∈R）在x=2处取得最大值，则m的取值范围为（　　）

A．（-

，0）∪（0，+∞）

B．（-

，+∞）

C．（-∞，0）∪（0，

）

D．（0，+∞）

难度：较难

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6．已知函数f（x）=
alnx+b
ex
（a，b为常数，无理数e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=
1
e
．
（1）求a，b的值；
（2）证明不等式1-x-xlnx＜
ex
x+1
(1+e-2)．

难度：较难

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7．设函数f（x）=lnx+
m
x
，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）记g（x）=f′（x）-
x
3
+m，试讨论是否存在x₀∈（0，
3
）∪（
3
，+∞），使得g（x₀）=f（1）成立．

难度：较难

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8． f（x）=e^x-
a
2
x²-x-1（其中a∈R，e为自然数的底数），g（x）=f′（x）为f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）在R上存在最小值，且最小值为0，求实数a的值；
（3）求证：当x≥0时，e^x-x-1≥
1
2
xsinx．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=
ln(ex)
x
，g（x）=
3
8
x²-2x+1+xf（x）．
（1）证明f（x）≤1在其定义域内恒成立；
（2）若函数y=g（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=e^x+ax
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为0，求a的值；
（3）若对于任意x≥0，f（x）≥e^-x恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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