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          共50条信息

            • 1． 若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”
              （1）已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an-1．
              ①求{an}的通项公式；
              ②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
              （2）已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z（n∈N*），求证：{an}为“等比源数列”
              难度：较难
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            • 2． 已知a1，a2，…，an是由m（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bn=n+1-ak（k=1，2，…，n）．
              （1）当n=3时，写出数列{an}和{bn}，使得a2=3b2；
              （2）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；
              （3）若c1，c2，…，cn是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出ck（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+ncn．
              （参考：12+22+…+n2=
              1
              6
              n（n+1）（2n+1））
              难度：中等
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            • 3． n2（n≥4，n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=
              a11a12a13a14…a1n
              a21a22a23a24…a2n
              a31a32a33a34…a3n
              ………
              an1an2an3an4…ann
              ，其中aij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a22=6，a33=16．
              （Ⅰ） 求a11和aij．
              （Ⅱ）设An=a1n+a2（n-1）+a3（n-2）+…+an1．
              ①求An；
              ②证明：当n是3的倍数时，An+n能被21整除．
              难度：中等
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            • 4． 已知数列{an}（n=1，2，3，…），⊙C1：x2+y2-2anx+2an+1y-2=0和⊙C2：x2+y2+2x+2y-2=0．若⊙C1和⊙C2交于A、B两点，且这两点平分⊙C2的周长
              （1）求证数列{an}是等差数列；
              （2）若a1=1，则当⊙C1面积最小时，求出⊙C1的方程．
              难度：中等
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            • 5． 若存在一数列的前n项为nan，则称该数列为数列{an}的“一阶衍生数列”，记作{（an）1}；同样的，若存在一数列的前n项和为n（an）1，则称该数列为数列{an}的“二阶衍生数列”，记作{（an）2}．记（am）k为数列{an}的“k阶衍生数列”中的第m项．己知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1．
              （1）写出数列{（a2）n-1}的前四项；
              （2）求证：对任意给定的m≥2且m∈N+，数列{（am）n-1}为等比数列．
              难度：较难
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            • 6． 若数列{an}满足a2-a1＜a3-a2＜a4-a3＜…an+1-an＜…，则称数列{an}为“上进数列”，若数列{an}是上进数列，且其通项an=λ•2n-n2（n∈N*，λ≠0），则λ的取值范围是    ．
              难度：较难
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            • 7． 已知函数f（x）=
              x+3
              x+1
              ，x∈（0，+∞），数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*，a1=1．
              （1）试比较|an+1-
              		3
              |与|an-
              		3
              |的大小，并说明理由．
              （2）求证：|a1-
              		3
              |+|a2-
              		3
              |+|a3-
              		3
              |+…+|an-
              		3
              |＜
              		3
              +1．
              难度：中等
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            • 8． 若数列{an}对任意n∈N*，满足
              an+2-an+1
              an+1-an
              =k（k为常数），则称数列{an}为等差比数列．
              （1）若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2（an-1），求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差数列；
              （2）若数列{an}为等差数列，试判断{an}是否一定为等差比数列，并说明理由；
              （3）试写出一个等差比数列的通项公式an，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列，并证明之．
              难度：中等
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            • 9． 对实数列{an}，若存在常数M＞0，使得对任意的n∈N*，|an|≤M，（*），则称数列{an}为有界数列，若M是使（*）成立的最小正常数，则称M是最佳上界，现定义：ak=
              1
              k2
              +
              1
              k2+1
              +…+
              1
              (k+1)2-1
              （k=1，2，…）．
              （1）比较a1，a2，a3的大小，并猜想数列{an}的单调性（不需证明）；
              （2）定义数列{an}的交替和为：Sn=a1-a2+a3-a4+…+（-1）n-1an，问：数列{Sn}是否为有界函数？证明你的结论；
              （3）①（理科）证明：数列{nan}为有界数列，并求此数列的最佳上界M；
              ②（文科）证明：数列{nan}为有界数列．
              难度：中等
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            • 10． 设{an}是无穷数列，令a′k=
              ak+ak+1
              2
              ，（k=1，2，…），则称{a′k}是{ak}的均值数列．仿此可定义，{a″k}是{a′k}的均值数列，且{a″k}是{a′k}的第二级均值数列．若{ak}的各级均值数列都是整数列，则称{ak}是“好”数列，求证：若{ak}是“好”数列，则{ak2}也是“好”数列．
              难度：较易
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