知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a₁=
3
2
，且a_n+1=3a_n-1，b_n=a_n-
1
2
．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列．
（2）若不等式
bn+1
bn+1-1
≤m对∀n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
n2
2
（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ-
1
3
恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．正项数列a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）满足：a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N^*）是公差为d的等差数列，a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为2的等比数列．
（1）若a₁=d=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=2，m＜2016，求m的最大值；
（3）是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，
Sn
n
）在直线y=
1
2
x+
11
2
上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
3
(2an-11)(2an+1-11)
，求数列{b_n}的前n项和为T_n，并求使不等式T_n＞
k
20
对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

难度：中等

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5．已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a_n+1=
an
2
+
1
2
（n∈N₊）．
（1）若（a₁-1）（a₂-2）＜0，求a₁的范围；
（2）设max{a，b}表示a、b两数中较大的数．试证明：对任意的n∈N₊，都有a_n≤max{1，a₁}．

难度：较难

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6． S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，都有S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{
1
an
}的前n项和为T_n，求使得|T_n-2|＜
1
500
成立的n的最小值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）的定义域为实数集R，
（1）若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明函数φ（x）是以T为周期的周期函数；
（3）若f（x+6）=
2
f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=
1
10
x（x²-9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2．（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若x_n=1+
1
an
，设数列{x_n}的前n项积为T_n，求证：
①（1+
1
2n-1
）＜（1+
1
2n
）²（n∈N^*）；
②T_n≤2（1+
1
2n
） 2n-2（n∈N^*）．

难度：中等

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9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且{
Sn
n
}是等差数列，已知a₁=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=12．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，a_n+1+
16
an
≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}是各项正数首项1等差数列，S_n为其前n项和，若数列{
Sn
}也为等差数列，则
Sn+8
an+1
的最小值是．

难度：中等

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