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          共50条信息

            • 1． 设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=
              		3
              3
              x              相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，以（λn，0）表示Cn的圆心，已知{rn}为递增数列．
              （1）证明{rn}为等比数列（提示：
              rn
              λn
              =sinθ              ，其中θ为直线y=
              		3
              3
              x              的倾斜角）；
              （2）设r1=1，求数列{
              n
              rn
              }              的前n项和Sn；
              （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞
              9
              4
              -
              an
              rn
              成立，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 2． 如果P1，P2，…，P9是抛物线y2=4x上的点，它们的横坐标x1，x2，…，x9依次成等差数列，F是抛物线的焦点，若x1+x9=2，则|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=    ．
              难度：中等
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            • 3． 已知曲线C：y=x2（x＞0），过C上的点A1（1，1）作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an（n∈N*）
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1；
              （3）求证：
              n
              i=1
              1
              aiSi
              ≤
              4n-1
              3
              ．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}的前n项和为Sn，S2=3，且点（2n，Sn）在直线y=kx-1 上．
              （1）求k的值，并证明{an}是等比数列；
              （2）记Tn为数列{Sn}的前n项和，求使TN＞2010成立的n最小值．
              难度：中等
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            • 5． 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，点（an，Sn）都在直线2x-y-
              1
              2
              =0上． 
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=
              4-2n
              an
              ，求{bn}的前n项和Tn．
              难度：较难
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            • 6． 有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上．按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为Pn．
              （Ⅰ）求证：∀n∈N*，点（Pn，Pn+1）恒在过定点（
              5
              9
              ，
              5
              9
              ），斜率为-
              1
              2
              的直线上；
              （Ⅱ）求数列{Pn}的通项公式Pn；
              （Ⅲ）用记号Sn→m表示数列{Pn-
              5
              9
              }从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S1→k，Sk+1→2k，…，S（n-1）k+1→nk，…的前n项和Tn．
              难度：较难
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            • 7． 在各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn满足2Sn+1=an（2an+1），n∈N*．
              （Ⅰ）证明{an}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
              （Ⅱ）在XOY平面上，设点列Mn（xn，yn）满足an=nxn，Sn=n2yn，且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若称直线C与x轴、直线x=a，x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x3，xk]上的面积．
              难度：较难
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            • 8． 直线ln：y=x-
              		2n
              与圆Cn：x2+y2=2an+n+2交于不同的两点An、Bn，n∈N*．数列{an}满足：a1=1，an+1=
              1
              4
              |AnBn|2．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）若bn=
              2n-1 (n为奇数)
              an (n为偶数)
              ，求数列{bn}的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 9． 已知数列{an}，其前n项和为Sn，点（n，Sn）在以F（0，
              1
              4
              ）为焦点，以坐标原点为顶点的抛物线上，数列{bn}满足bn=2 an．
              （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （2）设cn=an×bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 10． 已知正项数列{an}中，a1=2，点(
              		an
              ，an+1)              在函数y=x2+1的图象上，数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线y=-
              1
              2
              x+3              上，其中Tn是数列{bn}的前n项和（n∈N*）．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）求数列{bn}的前n项和Tn．
              难度：中等
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