知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•包头一模）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N．
（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；
（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=
2
AB=2，E，F分别为PB，AD的中点．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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3．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥面PAB
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDC
（Ⅲ）求直线EC与平面PAC所成角的余弦值．

难度：中等

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4．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD的中点．

（1）求证：BM⊥平面ADM；
（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．

难度：中等

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5．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧面BCC₁B₁⊥底面ABCD，B₁C=CD=2，BB₁=2
2
．
（1）求证：平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
（2）求直线BD₁与平面A₁B₁CD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：BD₁⊥平面AB₁C；
（2）求AB与平面AB₁C所成的角．

难度：中等

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7．如图，在四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，求：
（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成的角的余弦值．

难度：中等

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8．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如果对角线AC₁与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos²α+cos²β+cos²γ= ．

难度：中等

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9．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=5，AC=AA₁=4，BC=3，点D在AB上．
（1）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面B₁CD．
（2）当
BD
AB
=
9
16
时，求直线AC₁与平面CC₁D所成角的正弦值．

难度：中等

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10．正方体AC₁中，BC₁与平面AB₁C所成的角是；A₁C与截面A₁BD所成的角是．

难度：中等

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