知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•佛山二模）如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）当BC⊥CD时，直线BC与平面A₁BD所成的角能否为45°？并说明理由．

难度：中等

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2．（2016•平度市模拟）如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别是BC，CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B₁-AEF的体积．

难度：较易

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3．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，AM=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥P-MAC的体积．

难度：中等

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4．（2016•日照二模）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是等腰梯形，其中AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为△OBF的重心．
（I）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（II）求证：PM∥平面AFC．

难度：中等

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5．（2016•盐城三模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．

难度：中等

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6．（2015秋•黄山期末）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=60°，AC=CC₁=2，BC=1，E，F分别是A₁C₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC₁的体积．

难度：中等

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7．（2015秋•蚌埠期末）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=
3
，PD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）在△PBD中，∠PBD=30°，点E在PB上且BE=3PE，求三棱锥P-CDE的体积．

难度：中等

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8．（2015秋•菏泽期末）如图，四棱锥A-BCDE中，AB=BCC，BE=
1
2
CD．CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：面ADE⊥面ACD．

难度：中等

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9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC₁，BB₁的中点．求证：
（1）平面AMP⊥平面BB₁C₁C；
（2）A₁N∥平面AMP．

难度：中等

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10．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧面A₁ADD₁⊥面ABCD，底面ABCD是矩形，且AB=2，AD=1，AA₁=
5
，∠A₁AD的余弦值为
5
5
．
（1）求证：平面A₁DCB₁⊥平面ABCD；
（2）求BD₁与平面ABCD所成角的正切值．

难度：中等

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