知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：
x=1+s
y=1-s
（s为参数）和C：
x=t+2
y=t2
（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|= ．

难度：较难

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2．已知两曲线参数方程分别为
x=
5
cosθ
y=sinθ
(0≤θ＜π)和
x=
5
4
t2
y=t
(t∈R)，求它们的交点坐标．

难度：较难

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3．曲线C₁的参数方程为
x=8t2
y=8t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C₂的极坐标方程为ρ=r（r＞0），若斜率为1的直线经过C₁的焦点，且与C₂相切，则r= ．

难度：中等

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4．选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
1 2
2 a
的属于特征值b的一个特征向量为
1
1
，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
x=2pt2
y=2pt
（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．

难度：中等

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5．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁与C₂的参数方程分别为
x=t
y=
t
（t为参数）和
x=
2
cosθ
y=
2
sinθ
（θ为参数），则曲线C₁与C₂的交点坐标为．

难度：较难

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6．（选修4-4：坐标系与参数方程）：
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=
π
4
与曲线
x=t+1
y=(t-1)2
（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．

难度：较难

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7．已知抛物线的参数方程为
x=2pt2
y=2pt
（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= ．

难度：中等

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8．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为
x=2t
y=t2
（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C₂的方程为
2
ρsin（θ+
π
4
）=1，则C₁与C₂的交点个数为．

难度：较易

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9．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线C₁的方程为
x=4t2
y=4t
（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C₂：ρcosθ=1与C₁的交点之间的距离为．

难度：较难

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10．参数方程
x=sinθ+cosθ
y=sinθ•cosθ
化为普通方程是．

难度：中等

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