知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0）且x+y+z的最大值是1，求a的值．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
|x+1|+|x-m|-5
（m＞0）的定义域为R
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈R，且a+b+m=4，a²+b²+m²=16，求实数m的值．

难度：较难

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3．已知x，y∈R⁺，且x+y=2
（Ⅰ）要使不等式
1
x
+
1
y
≥|a+2|-|a-1|恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）求证：x²+2y²≥
8
3
．

难度：较难

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4．（1）证明柯西不等式：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
（2）若a，b∈R₊且a+b=1，用柯西不等式求
3a+1
+
3b+1
的最大值．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=k-|x-3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[-1，1]．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c∈R，且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=k，求证：a+2b+3c≥9．

难度：较难

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6．已知实数x，y，z满足2x+y+3z=32，则
(x-1)2+(y+2)2+z2
的最小值为．

难度：中等

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7．若a、b是正常数，a≠b，x、y∈（0，+∞），则
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f（x）=
4
x
+
9
1-2x
（x∈（0，
1
2
））的最小值为．

难度：较难

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8．已知实数a_i，b_i∈R，（i=1，2，…n），且满足a₁²+a₂²+…a_n²=1，b₁²+b₂²+…b_n²=1，则a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的最大值为（　　）

A．1

B．2

C．n

D．2

难度：中等

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9．设a、b、x、y都为实数，且x²+y²=1，求函数y=
a2x2+b2y2
+
a2y2+b2x2
的最小值．

难度：较易

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10．用柯西不等式比较a³+b³+c³与a²b+b²c+c²a 的大小．

难度：较易

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