知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤
π
3
），分别设S_△OAC，S_△ABC的面积为S₁和S₂．
（1）用sinθ、cosθ表示S₁和S₂；
（2）求
S1
cosθ
+
S2
sinθ
的最大值及取最大值时θ的值．

难度：较易

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2．在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点P，Q在单位圆上，且满足∠AOP=
π
6
， ∠AOQ=α， α∈[0，π)．
（1）若cosα=
3
5
，求cos(α-
π
6
)的值；
（2）设函数f（α）=
OP
•
OQ
，求f（α）的值域．

难度：中等

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3．（1）已知cos（
π
6
-α）=
3
3
，求cos（
5π
6
+α）-sin²（α-
π
6
）的值．
（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为
5
5
，
7
2
10
．求tanα，tanβ的值．

难度：中等

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4．设任意角α的终边与单位圆的交点为P₁（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P₂（y，-x），则下列说法中正确的是（　　）

A．sin（α+θ）=sinα

B．sin（α+θ）=-cosα

C．cos（α+θ）=-cosα

D．cos（α+θ）=-sinα

难度：较易

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5．一个被绳子牵着的小球做圆周运动（如图）．它从初始位置P₀开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：
（Ⅰ）P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
（Ⅱ）如果ω=
π
6
rad/s，l=2，|φ|＜
π
2
，当t=
3
2
s时，y首次达到最大值，求φ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，试求小球到达x轴的正半轴所需的时间．

难度：较难

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6．（1）若sin（3π+θ）=
1
4
，求
cos(π+θ)
cosθ[cos(π+θ)-1]
+
cos(θ-2π)
cos(θ+2π)cos(π+θ)+cos(-θ)
的值；
（2）已知0＜x＜
π
2
，利用单位圆证明：sinx＜x＜tanx．

难度：较易

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7．如图，O为坐标原点，点A，B在⊙O上，且点A在第一象限，点B（-
3
5
，
4
5
），点C为⊙O与x轴正半轴的交点，设∠COB=θ．
（1）求sin2θ的值；
（2）若
OA
•
OB
=
2
2
，求点A的横坐标x_A．

难度：较易

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8．函数f（x）=
3
sinωx•cosωx+sin²ωx+k，（ω＞0）．
（1）若f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于
π
2
，求ω的取值范围；
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-
π
6
，
π
6
]时，f（x）的最大值是
1
2
，求f（x）最小值，并说明如何由y=sin2x的图象变换得到y=f（x）的图象．

难度：中等

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9．已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．
（1）若|
OA
+
.
OC
|=
7
（O为坐标原点），求
.
OB
与
.
OC
的夹角；
（2）若
.
AC
⊥
.
BC
，求点C的坐标．

难度：中等

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10．如图A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点．点B在第二象限，∠AOB=θ，sinθ=
4
5
．
（Ⅰ）求B点坐标；
（Ⅱ）求sin（π-θ）+2sin（
π
2
-θ）的值．

难度：较易

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