知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

难度：中等

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2．给定数列{a_n}，记该数列前i项a₁，a₂，…，a_i中的最大项为A_i，即A_i=max{a₁，a₂，…，a_i}；该数列后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n中的最小项为B_i，即B_i=min{a_i+1，a_i+2，…，a_n}；d_i=A_i-B_i（i=1，2，3，…，n-1）
（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d₁，d₂，d₃；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有(1-λ)Sn=-λan+
2
3
n+
1
3
，其中λ为实数，λ＞0且λ≠
1
3
，λ≠1．
①设bn=an+
2
3(λ-1)
，证明数列{b_n}是等比数列；
②若数列{a_n}对应的d_i满足d_i+1＞d_i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知8a₁，3a₂，2a₂成等差数列，S₄=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，求满足T_n-1＞0的最大正整数n．

难度：中等

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4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足an+Sn=An2+Bn+C（A≠0，n∈N^*）．
（1）当C=1时，
①设b_n=a_n-n，若a1=
3
2
，a2=
9
4
．求实数A，B的值，并判定数列{b_n}是否为等比数列；
②若数列{a_n}是等差数列，求
B-1
A
的值；
（2）当C=0时，若数列{a_n}是等差数列，a₁=1，且∀n∈N^*，λ-
3
n+1
≤
n
i=1
1+
1
a
2
i
+
1
a
2
i+1
，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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5．设{x_n}是首项为x₁=2，公比为q（q∈N^*）的等比数列，且6x₃是16x₁与2x₅的等差中项，数列{y_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）若不等式λx_ny_n-3x_n+1≤n²•2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=
an
an+3
（n∈N^*）．
（1）求证：{
1
an
+
1
2
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）.
n
2n
．a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，
若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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7．已知数列{a_n}的前n项和S_n=a_n+n²-1，数列{b_n}满足：b₁+3b₂+5b₃+…+（2n-1）•b_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=
a1
b1
+
a2
b2
+
a3
b3
+…+
an
bn
，求满足T_n＜
11
6
的n的取值集合．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（
1
2
）^n-1+2（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2ⁿa_n，c_n=
1
2
b
2
n
-bn
，若T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证T_n＜
3
2
．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}中a₁=1，其前n项和记为S_n，且满足3（S₁+S₂+…+S_n）=（n+2）S_n．
（1）求数列{
Sn
(n+1)n
}的通项公式；
（2）设无穷数列b₁，b₂，…b_n，…对任意自然数m和n，不等式|b_m+n-b_m-b_n|＜
1
m+an
均成立，证明：数列{b_n}是等差数列．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-4（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，T_n=
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
，求使T_n＞
λ
n+2
对任意n∈N⁺恒成立的实数λ的取值范围．

难度：中等

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