知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．对于问题：“已知关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），解关于x的不等式ax²-bx+c＞0”，给出如下一种解法：
解：由ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），得a（-x）²+b（-x）+c＞0的解集为（-2，1），
即关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-2，1）．
参考上述解法，若关于x的不等式
k
x+a
+
x+b
x+c
＜0的解集为（-3，-1）∪（1，2），则关于x的不等式
kx
ax+1
+
bx+1
cx+1
＜0的解集为．

难度：较难

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2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x₀，y₀）、直线l：ax+by+c=0，我们称δ=
ax0+by0+c
a2+b2
为点P（x₀，y₀）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．
（1）设椭圆
x2
4
+y2=1上的任意一点P（x，y）到直线l₁：x-2y=0，l₂：x+2y=0的方向距离分别为δ₁、δ₂，求δ₁δ₂的取值范围．
（2）设点E（-t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα-2=0的方向距离分别为η₁、η₂，试问是否存在实数t，对任意的α都有η₁η₂=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．
（3）已知直线l：mx-y+n=0和椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F₁，F₂到直线l的方向距离分别为λ₁、λ₂满足λ1λ2＞b2，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．

难度：中等

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3．（2015秋•南昌校级月考）如图，已知点O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO，并延长交对边于A₁，B₁，C₁，则
OA1
AA1
+
OB1
BB1
+
OC1
CC1
=1，类比猜想：点O是空间四面体V-BCD内的任意一点，连结VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V₁，B₁，C₁，D₁，则有．

难度：中等

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4．已知过圆C：x²+y²=R²上一点M（x₀，y₀）的切线方程为x0x+y0y=R2，类比上述结论，写出过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点P（x₀，y₀）的切线方程．

难度：中等

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5．已知m，n∈N^*且n＞m，在公比为q的等比数列{a_n}中，有a_n=a_m•q^n-m成立，类似地，在公差为d的等差数列{b_n}中，有成立．

难度：中等

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6．（学法反思总结题）
结合平时学习体会，请回答以下问题：
（1）你认为求二面角常用的方法有哪些？请按应用的重要程度写出3种，并就其中一种方法谈谈它的应用条件；
（2）在解决数学题目时会经常遇到陌生难题，对这些陌生难题的解决往往不知所措，实际上对这些陌生难题的解决方法往往都是通过分析将其转化成为若干常见的基本问题加以解决，也就是我们教师常说的：所谓的难题都是由若干基本题拼凑而成的．请你结合对立体几何问题的解决体会，谈谈对于一个陌生的立体几何难题经常采取哪些策略方法可将其转化为若干常见问题的，要求写出3种策略．

难度：较难

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7．在平面内有下面关于直角三角形边长的勾股定理定理：直角三角形ABC中，AC⊥BC，则有AB²=AC²+BC²．将它类比到空间中关于直角三棱锥的面积的命题应该是：若三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA；则有．

难度：中等

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8．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在
2+
2+
2+…
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程
2+x
确定出来x=2，类似地不难得到1+
1
1+
1
1+…
= ．

难度：较易

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9．已知
2+
2
3
=2
2
3
，
3+
3
8
=3
3
8
，
4+
4
15
=4
4
15
，
5+
5
24
=5
5
24
…，类比推理得
m+
n
t
=m
n
t
（m＞0，n＞0，t＞0），则t+
16
n
+2005的最小值等于．

难度：较易

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10．过双曲线y=
k
x
（常数k＞0）上任意一点A作AE∥x轴交y轴于E，作AF∥y轴交x轴于F，得到矩形AEOF，设它的面积为S，则S=k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），并证明你的推广．

难度：中等

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