知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

难度：较难

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2．平面上动点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作直线与曲线C交于两点A，B，与直线l交于点M，求|MA|•|MB|的最小值．

难度：中等

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3．某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；
（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．

难度：较易

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4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

难度：中等

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5．已知平面内动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=-
1
2
的距离长
1
2
．
（1）求动点C的轨迹方程E；
（2）已知点A（4，0），过点A的直线l与曲线E交于不同的两点P，Q，证明：以PQ为直径的圆过原点．

难度：中等

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6．已知曲线C₁：y=ax²上点P处的切线为l₁，曲线C₂：y=bx³上点A（1，b）处的切线为l₂，且l₁⊥l₂，垂足M（2，2），求a、b的值．

难度：中等

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7．已知椭圆C₁：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的离心率为
3
2
，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点是椭圆的顶点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点M（-1，0）作抛物线的切线l，求切线l的方程．

难度：中等

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8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）若平行于OA（O为坐标原点）的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|=3
5
．求△AMN的面积．

难度：中等

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9．已知点P在抛物线x²=y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D．动点M（x，y）满足
DM
=2
DP
，设点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=-1，若经过点F（0，1）的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A₁、B₁，试判断直线A₁F与B₁F的位置关系，并证明你的结论．

难度：较难

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10．某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（　　）

A．560m³

B．540m³

C．520m³

D．500m³

难度：较易

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