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          共50条信息

            • 1． 某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y=x2的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点，点E为y轴上的一点，记∠EFA=α，其中α为锐角：
              （1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；
              （2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．
              难度：较易
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            • 2． 设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
              （1）求直线AB的斜率；
              （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
              难度：较易
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            • 3． 如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
              （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
              （2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．
              难度：较难
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            • 4． 在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T0：y=x2的切线，其切点分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）（其中x1＜x2）．
              （Ⅰ）求x1与x2的值；
              （Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
              （Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．
              难度：中等
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            • 5． 在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点．
              （Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；
              （Ⅱ）如果=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
              难度：中等
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            • 6． 过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0）作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，则= ______ ．
              难度：中等
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            • 7． 已知抛物线C：y2=2px，点P（-1，0）是其准线与x轴的焦点，过P的直线l与抛物线C交于A、B两点．
              （1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线l的方程；
              （2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积．
              难度：中等
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            • 8． 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p＞0)上的两个动点，O是坐标原点，向量，满足，设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0．
              (1)证明线段AB是圆C的直径；
              (2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值．
              难度：难
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            • 9． 设A(x1，y1)．B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．
              1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
              2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a＞0，b≠0)，且交抛物线y2=2px(p＞0)于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
              (1)写出直线l的截距式方程；
              (2)证明：+=；
              (3)当a=2p时，求∠MON的大小．
              难度：中等
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