知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．设数列{a_n}的前项和为S_n，且{
Sn
n
}是等差数列，已知a₁=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=6，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=
an+1
an+2
+
an+2
an+1
，数列{b_n}的前项和为T_n，求证：T_n＜2n+
1
2
．

难度：中等

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4．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，数列{b_n}满足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=5n²+3n．
（1）求a₆+a₇+a₈；
（2）求通项a_n；
（3）判断数列{a_n}是否是等差数列．

难度：中等

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6．数列{a_n}满足a₁=1，
1
2an+1
=
1
2an
+1（n∈N）
（I）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（Ⅱ）设T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求T_n．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=pn²+qn（p，q∈R，且p，q为常数）．
（1）当p，q满足什么条件时，数列{a_n}是等差数列；
（2）求证：对任意实数p、q，数列{a_n+1-a_n}是等差数列．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n=2-
1
an-1
，b_n=
1
an-1
，解答下列问题：
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=1-
1
4an
，其中n∈N^•，若b_n=
2
2an-1
．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n+1-b_n=c_n-1，c₁=1，求出{c_n}的通项公式．

难度：中等

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10．已知数列通项a_n=lg[100×(
2
2
)^n-1]
（1）写出这个数列的前三项；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列．

难度：较易

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