知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．定义在区间[x₁，x₂]长度为x₂-x₁（x₂＞x₁），已知函数f（x）=
(a2+a)x-2
a2x
（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最长长度时a的值是．

难度：较难

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3．对于函数f（x），等式f（1+x）•f（1-x）=4对定义域中的每一个x都成立，已知当x∈[0，1]时，f（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤f（x）≤4，则m的取值范围是．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=a（x-1）²-lnx，g（x）=
ex
ex
，若对任意的x₀∈（0，e]，总存在两个不同的x₁，x₂∈（0，e]，使得f（x₁）=f（x₂）=g（x₀）．则实数a的取值范围为．

难度：较难

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5．已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-
π
6
)，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若关于x的方程2f（x）-m+1=0在区间[-
π
3
，
π
4
]上有两个相异的实根，求m的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；
（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；
（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．

难度：较难

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7．设函数f（x）=|f₁（x）-f₂（x）|，其中幂函数f₁（x）的图象过点（2，
2
），且函数f₂（x）=ax+b（a，b∈R）．
（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（2）设μ为常数，a为关于x的偶函数y=log₄[（
1
2
）^x+μ•2^x]（x∈R）的最小值，函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b），求函数u（b）的最小值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，均有|f₂（x）|≤1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围．

难度：较难

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8．求使方程
a+
asinx
=sinx有实数解的实数α的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=x²-x+1，g（x）=e^x（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）设F（x）=f（x）-kg（x）（k∈R），当k取何值时，函数F（x）恰有两个零点？
（Ⅱ）记g（x）的反函数为g^-1（x），证明：对任意x∈（0，+∞），都有g（-x）-g^-1（x）＜
2
ex
；
（Ⅲ）数列{a_n}满足a₁=
f(2)
2
，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求S=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2015
的整数部分．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=|log₃（x-1）|-（

）^x有两个零点x₁，x₂，则（　　）

A．x₁x₂＜1

B．x₁x₂＞x₁+x₂

C．x₁x₂＜x₁+x₂

D．x₁x₂=x₁+x₂

难度：较易

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