知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：g（x₁）+g（x₂）＞-
5
2
．

难度：中等

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2．已知f（x）=2x+3-
ln(2x+1)
2x+1
．
（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；
（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=a（x-1）（e^x-a）（常数a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：0＜f（x₁）＜
4
e2
且0＜f（x₂）＜
4
e2
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=alnx+
1
x
．a∈R．
（1）若f（x）有极值，求a的取值范围．
（2）若f（x）有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由．

难度：中等

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5．函数f（x）=（1+ax²）e^x（a≠0）在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=x³+nx²+mx，g（x）=nx²-mx，其中m，n∈R．
（1）若当m=n+6时，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且0≤x₁＜1，2≤x₂＜3，求实数n的取值范围和f（x₁）+f（x₂）的取值范围；
（2）当n＞m，且mn≥0时，若函数f（x），g（x）在区间[m，n]上都是单调函数，且单调性相反，求n-2m的最大值．

难度：较难

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7．设x₀是函数f（x）=cos2x的一个极值点，则[f（x₀）]²= ．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）．
（1）若函数f（x）有极小值-
1
e
，求f（x）的单调函数；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥a（x-1）；
（3）当x∈（1，e）是，不等式
x-1
a
＜lnx恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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9．已知关于x的方程x²-2alnx-2ax=0有唯一解，则实数a的值为（　　）

A．1

B．

C．

D．

难度：较难

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10．函数f（x）=e^x（x²+ax+2）（α∈R）无极值点，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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