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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}、{bn}满足：an+1=an+1，bn+1=bn+
              1
              2
              an              ，cn=an2-4bn，n∈N*：
              （1）若a1=1，b1=0，求数列{an}、{bn}的通项公式：
              （2）证明：数列{cn}是等差数列：
              （3）定义fn（x）=x2+anx+bn，证明：若存在K∈N*，使得ak、bk为整数，且fk（x）有两个整数零点，则必有无穷多个fn（x）有两个整数零点：
              难度：中等
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            • 2． 数列{an}满足an=6-
              9
              an-1
              （n∈N*，n≥2）．
              （1）求证：数列{
              1
              an-3
              }是等差数列；
              （2）若a1=6，求数列{|lgan|}的前999项的和．
              难度：中等
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            • 3． 已知各项不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=
              1
              2
              an•an+1（n∈N*）
              （1）求证：数列{an}是等差数列；
              （2）设数列{bn}满足：bn=2an-2an+1，且
              lim
              n→∞
              （bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1）=
              1
              384
              ，求正整数k的值；
              （3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{ck}中，c1=1，
              ck+1
              ck
              =
              k-m
              ak+1
              ，求c1+c2+…+cm．
              难度：中等
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            • 4． 设数列{an}的各项均为正数，{an}的前n项和Sn=
              1
              4
              (an+1)2              ，n∈N*．
              （1）求证：数列{an}为等差数列；
              （2）等比数列{bn}的各项均为正数，bnbn+1≥Sn2，n∈N*，且存在整数k≥2，使得bkbk+1=Sk2．
              （i）求数列{bn}公比q的最小值（用k表示）；
              （ii）当n≥2时，bn∈N*，求数列{bn}的通项公式．
              难度：较难
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            • 5． 已知数列{an}中，a1=5，且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．
              （1）证明：数列{
              an-1
              2n
              }为等差数列；
              （2）求数列{an}的通项公式．
              难度：中等
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            • 6． 已知数列{an}的通项公式为an=lg3n-lg2n+1，求证：{an}是等差数列．
              难度：较易
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            • 7． 已知正项数列{an}，前n项和为Sn，且有
              		Sn
              =λan+c．
              （1）求证：λc≤
              1
              4
              ；
              （2）若λ=1，c=0，求证：Sn≥（
              n+1
              2
              ）2；
              （3）若2a2=a1+a3，求证：{an}为等差数列．
              难度：较难
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            • 8． 在数列{an}中，若an+1是an和an+2的等差中项，数列{an}是否是等差数列？说明理由．
              难度：中等
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            • 9． 已知数列{an}满足a1=4，an+1=4-
              4
              an
              （n∈N*），令bn=
              1
              an-2

              （1）求证：数列{bn}是等差数列；
              （2）设cn=（a2n-1-2）（a2n+1-2），求数列{cn}的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 10． 如果数列{an}、{bn}是项数相同的两个等差数列，p，q是常数，那么数列{pan+qbn}是等差数列吗？为什么？
              难度：较易
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