知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}各项均为正数，a₁=
1
2
，且对任意的n∈N^*，都有a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0）．
（1）求
c
1+ca1
+
c
1+ca2
+
1
a3
的值；
（2）若c=
1
2016
，是否存在n∈N^*，使得a_n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=

，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，0∈N^*，记T_2n为数列{a_n}的前2n项和，数列{b_n}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T_2n+

）•

＜1成立的最小整数n为（　　）

A．7

B．6

C．5

D．4

难度：较易

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3．已知数列{a_n+1}是等比数列，a₃=3，a₆=31，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且nS_n+1-（n+1）S_n=
1
2
n（n+1）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=
bn
an+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n≥m-
9
2n
对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

难度：较难

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4．数列{a_n}的前n项和为Sn=2n+1-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若cn=
2
bn+2•log2an
，数列{c_n}的前n项和为 T_n，求证：Tn＜
3
4
．

难度：中等

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5．已知函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈[0，+∞），存在正实数L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|均成立．
（1）若f（x）=
1+x
，x∈[0，+∞），求实数L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，正项数列{an}满足a_n+1=f（a_n），（n=1，2，…）
①求证：
n
k=1
|a_k-a_k+1|≤
1
1-L
•|a₁-a₂|；
②如果令A_k=
a1+a2+…+an
k
（k=1，2，3，…），
求证：
n
k=1
|A_k-A_k+1|≤
1
1-L
•|a₁-a₂|．

难度：中等

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6．已知等差数列{a_n}中，a₃=-13，a₅=-11，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ
.
an+1
.
（n＜16），求数列{b_n+
1
an
}的最大值和最小值；
（3）若c_n=a_n+16+
1
(an+16)2
，记数列{c_n}前n项和为S_n．
求证：
n2(n+1)+3n-1
2n
≤S_n≤
6n3+9n2+23n-2
6(2n+1)
．

难度：较难

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7．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₃+a₅=12，且a₁，a₅，a₁₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
1
anan+1
，求数列{b_n}的前n项和；
（3）设c_n=
1
an2
，T_n为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜
25
36
．

难度：中等

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8．己知数列{a_n}和致列{b_n}满足a₁=m，a_n+1=λa_n+n，b_n=a_n-
2n
3
+
4
9
．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（Ⅱ）当λ=-
1
2
，m≠
2
9
时，判断{b_n}是否为等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{b_n}的前项和，在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数m，使得对任意的正整数n，都有
1
3
≤S_n≤
2
3
？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正整数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=（-1）^n-1•λ•b_n+2 an（λ为非零实数，n为正整数），试确定实数λ的取值范围，使得对任意的正整数n，都有c_n+1＞c_n恒成立．

难度：中等

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10．已知等差数列{a_n}中，a₂=3，a₅=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N⁺，
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
”是真命题．

难度：中等

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