知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某校拟在高一年级开设英语口语选修课，该年级男生600人，女生480人．按性别分层抽样，抽取90名同学做意向调查．
（I）求抽取的90名同学中的男生人数；
（Ⅱ）将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”？
愿意选修英语口语课程有效不愿意选修英语口语课程合计
男生 25
女生
合计      35
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d
P（K²≥k₀） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

难度：较易

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2． 2016年微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到9位数．某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男性
等级喜欢一般不喜欢
频数 15 x 5
表2：女性
等级喜欢一般不喜欢
频数 15 3 y
（Ⅰ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；
男性女性总计
喜欢
非喜欢
总计
参考数据与公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.01
k₀ 2.706 3.841 6.635
临界值表：
（Ⅱ）若从样本中的女性中随机抽取3人，求恰有2人非喜欢的概率；
（Ⅲ）若以样本的频率估计概率，从参加调查问卷的人中随机抽取2名男性和1名女性，求其中非喜欢的人数X的分布列和数学期望．

难度：中等

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3．对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如图．
（1）根据图中数据，制作2×2列联表；
（2）若要采用分层抽样的方法从男生中共抽取5名候选人，再从5人中选两人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一人更爱好文娱，另一人更爱好体育的学生的概率；
（3）是否可以认为性别与是否爱好体育有关系？
参考数据：
P（K²≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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4．据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）
女性消费情况：
消费金额（0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]
人数 5 10 15 47 x
男性消费情况：
消费金额（0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]
人数 2 3 10 y 2
（Ⅰ）计算x，y的值；在抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；
女士男士总计
网购达人
非网购达人
总计
（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”
附：
P（k²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（k²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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5．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为
3
10
．
优秀非优秀合计
甲班 10
乙班 30
合计 100
（1）请完成上面的2×2列联表
（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？
（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生恰有2人的概率．
参考公式与临界表：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

难度：较易

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6．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
4
15
．
常喝不常喝合计
肥胖 2
不肥胖 18
合计 30
（1）请将上面的列联表补充完整．能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
（2）现从常喝碳酸饮料的学生中抽取3人参加电视节目，记ξ表示常喝碳酸饮料且肥胖的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．
参考数据：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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7．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
喜欢甜品不喜欢甜品合计
南方学生 40 20 60
北方学生 20 20 40
合计 60 40 100
（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取2人，求恰有1人喜欢甜品的概率．
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)
，
P（K²≥k） 0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635

难度：较易

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8．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者男女总计
需要 30
不需要 160
总计 200 500
（Ⅰ）完成以上2×2列联表，并估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
P（K²≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

难度：较易

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9．（2015秋•珠海期末）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（I）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 6.635 7.879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并从这6名选手中抽取2名幸运选手，求2名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(a+c)(c+d)(d+b)
．其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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10．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如2×2下列联表：
做不到科学用眼能做到科学用眼合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数X，试求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
独立性检验临界值表：
P（K²≥k₀） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k₀ 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024

难度：中等

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	愿意选修英语口语课程有效	不愿意选修英语口语课程	合计
男生	25
女生
合计		35

P（K²≥k₀）	0.10	0.050	0.025	0.010	0.005
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

P（K²≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

消费金额	（0，200）	[200，400）	[400，600）	[600，800）	[800，1000]
人数	5	10	15	47	x

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	喜欢甜品	不喜欢甜品	合计
南方学生	40	20	60
北方学生	20	20	40
合计	60	40	100

性别是否需要志愿者	男	女	总计
需要		30
不需要	160
总计	200		500

	做不到科学用眼	能做到科学用眼	合计
男	45	10	55
女	30	15	45
合计	75	25	100

等级	喜欢	一般	不喜欢
频数	15	x	5

等级	喜欢	一般	不喜欢
频数	15	3	y

	男性	女性	总计
喜欢
非喜欢
总计

	女士	男士	总计
网购达人
非网购达人
总计