知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0）、B（0，-2
2
），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究
PD
•
PE
是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

难度：较难

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2．如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，|AB|=4，有一曲线C过Q点，有一动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）求曲线C与半圆ADB的公共弦的长，并求此公共弦所在的直线方程．

难度：较难

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3．已知⊙O₁的半径为R，周长为C．
（1）在⊙O₁内任意作三条弦，其长分别是l₁、l₂、l₃．求证：l₁+l₂+l₃＜C；
（2）如图，在直角坐标系xOy中，设⊙O₁的圆心为O₁（R，R）．
①当直线l：y=x+b（b＞0）与⊙O₁相切时，求b的值；
②当反比例函数y=
k
x
（k＞0）的图象与⊙O₁有两个交点时，求k的取值范围．

难度：较难

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4．若动点P在直线l₁：x-y-2=0上，动点Q在直线l₂：x-y-6=0上，设线段PQ的中点M（a，b），满足a²+b²-4a+4b≤0，则a²+b²的取值范围是（　　）

A．[2

，4]

B．[2

，2

]

C．[8，12]

D．[8，16]

难度：较难

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5．已知a，b∈R，且（a-2b）²+4（a²-4b²）²=1，则a²+4b²的最小值为．

难度：较难

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6．某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．
（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；
（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）

难度：中等

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7．已知A，B两个批发市场，商品的批发价相同，但是某地区的居民从两地运回商品时，每单位距离的运费不同，A地的运费是B地的两倍，已知A，B相距100公里，问：A，B两地批发市场售货区域分界线设在何处对居民进货有利？

难度：中等

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8．已知某圆形拱桥在正常情况下水面宽4米，水面距桥拱最高点为2米，某日降雨后，水面上升了0.5米，求此时水面的宽度．

难度：较易

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9．已知x²+y²-2ax-4ay+4a²=0，求证：
（1）不论a取何值，上述圆的圆心在同一条直线上．
（2）不论a取何值，上述圆都有公切线，并求公切线方程．

难度：中等

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10．某工程设计一条单行隧道，其横截面如图所示，下部ABCD为长8米高2米的矩形，上部
CED
是圆弧的一部分，欲使宽6米高3米的大型货车刚好能通过，求拱顶E距离路面AB至少需几米？

难度：中等

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