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          共50条信息

            • 1． 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

              （Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
              （Ⅱ）记f（x）=S2，求f（x）的最大值及面积S的最大值．
              难度：中等
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            • 2． 如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2
              		2
              |ST|．
              （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
              （Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足
              OA
              +
              OB
              =t
              OP
              （O为坐标原点），求实数t的取值范围．
              难度：较难
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            • 3． 在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为点P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“折线距离”，则椭圆
              x2
              2
              +y2              =1上的一点P与直线3x+4y-12=0上一点Q的“折线距离”的最小值为（　　）
              A．
              12-
              		34
              5
              B．
              12+
              		34
              5
              C．
              12+
              		34
              4
              D．
              12-
              		34
              4
              难度：较难
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            • 4． 椭圆W：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的焦距为4，短轴长为2，O为坐标原点．
              （1）求椭圆W的方程；
              （2）设A，B，C是椭圆W上的三个点，判断四边形OABC能否为矩形？并说明理由．
              难度：较难
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            • 5． 如图，已知椭圆C：
              x2
              4
              +y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N，
              （ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2为定值；
              （ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
              难度：中等
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            • 6． 设F1，F2分别是C：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
              （1）若直线MN的斜率为
              3
              4
              ，求C的离心率；
              （2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
              难度：中等
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            • 7． 如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且
              AB
              与
              n
              =（
              		2
              ，-1）共线．
              （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
              （Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使
              OP
              •
              OQ
              ＜0，求实数m的取值范围．
              难度：较易
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            • 8． 如图，平面α内一椭圆C：
              x2
              4
              +y2=1，F1、F2分别是其焦点，P为椭圆C上的点，已知AF1⊥α，BF2⊥α，|AF1|=|BF2|=1，直线PA、PB和平面α所成角分别为θ、φ．
              （1）求证：cotθ+cotφ=4；
              （2）若θ+φ=
              π
              2
              ，求直线PA与PB所成角的大小．
              难度：中等
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            • 9． 已知一隧道的截面是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离，现有一货车，车宽4米，车高2.5米．
              （1）若此隧道为单向通行，经测量隧道的跨度是10米，则应如何设计
              隧道才能保证此货车正常通行？
              （2）圆可以看作是长轴短轴相等的特殊椭圆，类比圆面积公式，请你推测椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的面积公式．并问，当隧道为双向通行（车道间的距离忽略不记）时，要使此货车安全通过，应如何设计隧道，才会使同等隧道长度下开凿的土方量最小？
              难度：中等
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            • 10． 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，与过点P（1，2）且斜率为-2的直线l相交所得的弦恰好被点P平分，求椭圆的离心率．
              难度：中等
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