知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=
1
2
AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，使得平面A₁BE⊥平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥CE；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面A₁CE所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱A₁C上是否存在点P，使得BP∥平面A₁OF？若存在，求出
A1P
A1C
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．（2016•佛山二模）如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）当BC⊥CD时，直线BC与平面A₁BD所成的角能否为45°？并说明理由．

难度：中等

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3．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ）求证：EF∥BC；
（Ⅱ）求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值．

难度：中等

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4．（2015秋•黄冈校级期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3
2
；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q垂直于AP，并证明你的结论．

难度：中等

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5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2
3
，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC与平面BC₁D所成角；
（3）求三棱锥C-BC₁D的体积．

难度：中等

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6．（2015秋•晋城期末）如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点M，N分别是PD，DC的中点
（Ⅰ）判断直线MN与平面PAC的位置关系，并给予证明
（Ⅱ）求三棱锥P-AMN的体积．

难度：中等

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7．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧面A₁ADD₁⊥面ABCD，底面ABCD是矩形，且AB=2，AD=1，AA₁=
5
，∠A₁AD的余弦值为
5
5
．
（1）求证：平面A₁DCB₁⊥平面ABCD；
（2）求BD₁与平面ABCD所成角的正切值．

难度：中等

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8．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=4，AB∥CD，∠BCD=90°，M为棱PA的中点．
（I）证明：平面BDM⊥平面PAD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一点N，使得直线BN与平面BDM所成角为30°？若存在，求出CN长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底边与侧棱长均为1，点E、F是侧棱上的中点
（1）求AF与底面ABC所成角的正切值；
（2）求四棱锥A-BEFC的体积．

难度：较易

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10．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．已知BC=2AD=2AB=2．
（I）证明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若EC=1，求AD与面BED所成角的正弦值．

难度：中等

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