知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，平面ABDE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，AE=2BD=4，P、M分别为CE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PD∥平面ABC；
（Ⅱ）是否在EM上存在一点N，使得PN⊥平面ABDE．若存在，请指出点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．如图，直三棱柱ABC一A₁B₁C₁中，AB=
2
，AC=3，BC=
5
，D是AC_l的中点，E是侧棱BB₁上的一个动点
（1）当E是BB₁的中点时，证明：DE∥平面A₁B₁C₁
（2）在棱BB₁上是否存在点E使平面AC₁E⊥平面AC₁C？若存在，求出
BE
BB1
的值，若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
π
2
，AB=BC=
1
2
AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A₁BE的位置，得到四棱锥A₁-BCDE．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）当平面A₁BE⊥平面BCDE时，四棱锥A₁-BCDE的体积为36
2
，求a的值．

难度：中等

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4．如图，在四面体P-ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，AB⊥BP，点P在底面ABC上的射影为H，BH=
3
3
，二面角C-AB-P的正切值为
5
．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值．

难度：中等

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5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面AEC⊥平面ABCD，∠ACB=90°，EF∥BC，EF=
1
2
BC，AC=BC=2，AE=EC．
（Ⅰ）求证：AF=CF；
（Ⅱ）当二面角A-EC-D的平面角的余弦值为
3
3
时，求三棱锥A-EFC的体积．

难度：中等

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6．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB=2BC=4，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥DC，EF=2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥CF．
（Ⅰ）过BD与AF平行的平面与CF交于点G．求证：G为CF的中点；
（Ⅱ）求二面角B-AF-D的余弦值．

难度：较难

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7．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（　　）

A．5

B．2

C．3

D．5

难度：较难

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8．在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD中，AB=AD=2
3
，CD=BC=2，PA=2，AB⊥BC，PA⊥CD，面PAB⊥面ABCD．
（1）证明：PC⊥BD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

难度：中等

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9．如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB的边长为6的等边三角形，∠BAC=90°，AC=6，D、E分别为PB、BC中点，点F为线段AC上一点，且满足AD∥平面PEF．
（1）求
AF
FC
的值；
（2）求二面角A-PF-E的余弦值．

难度：中等

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10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=2
3
，BC=CD=2，∠BAD=60°，点M为线段AD的中点，将△DMC沿线段MC翻折到△PMC（点D与点P重合），使得平面PAC⊥平面ABCD，连接PA、PB．
（1）在AB上是否存在一点N，使得PC⊥平面PMN？若存在，指出点N的位置并加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）求二面角P-MC-B的正切值．

难度：中等

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