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          共50条信息

            • 1． 若数列{an}中不超过f（m）的项数恰为bm（m∈N*），则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{an}生成{bm}的控制函数．
              （1）已知an=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；
              （2）已知an=2n，且f（m）=m，求{bm}的前m项和Sm；
              （3）已知an=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{bm}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．
              难度：较难
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            • 2． 对于数列{an}，称P（ak）=
              1
              k-1
              (|a1-a2|+|a2-a3|+…+|ak-1-ak|)              （其中k≥2，k∈N）为数列{an}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（ak+1）＜P（ak），则称数列{an}为“趋稳数列”．
              （1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；
              （2）已知等差数列{an}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为Sn，试计算：Cn2P（S2）+Cn3P（S3）+…+CnnP（Sn）（n≥2，n∈N）；
              （3）若各项均为正数的等比数列{bn}的公比q∈（0，1），求证：{bn}是“趋稳数列”．
              难度：较难
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            • 3． 对任意正整数n，设an是方程x2+
              x
              n
              =1的正根．求证：
              （1）an+1＞an；
              （2）
              1
              2a2
              +
              1
              3a3
              +…+
              1
              nan
              ＜1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +…+
              1
              n
              ．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r-1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{an}为“r关联数列”．
              （1）若数列{an}为“6关联数列”，求数列{an}的通项公式；
              （2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；
              （3）已知数列{an}为“r关联数列”，且a1=-10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak-1+ak=a1+a2+…+am-1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 5． 已知x1、x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记
              n
              i=0
              xi=x0+x1+…+xn              ，设Tn=
              n
              r=0
              x
              n-r
              1
              x
              r
              2
              （n∈N*）．
              （1）用m、t表示T1、T2；
              （2）求证：T5=-mT4-tT3；
              （3）求证：对任意的n∈N*，Tn∈Z．
              难度：较难
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            • 6． 已知有穷数列：a1，a2，a3，…，ak (k∈N*，k≥3)的各项均为正数，且满足条件：
              ①a1=ak；②an+
              2
              an
              =2an+1+
              1
              an+1
                (n=1，2，3，…，k-1)              ．
              （Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；
              （Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；
              （Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
              难度：较难
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            • 7． 对于无穷数列{Tn}，若正整数n0，使得n≥n0（n∈N*）时，有Tn+1＞Tn，则称{Tn}为“n0～不减数列”．
              （1）设s，t为正整数，且s＞t，甲：{xn}为“s～不减数列”，乙：{xn}为“t～不减数列”．
              试判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；
              （2）已知函数y=f（x）与函数y=-
              1
              x
              +2的图象关于直线y=x对称，数列{an}满足a1=3，an+1=f（an）（n∈N*），如果{an}为“n0～不减数列”，试求n0的最小值；
              （3）设yn=
              f(
              4
              3
              )，(n=1)
              (
              1
              2n
              +1)cosnπ，(n≥2，n∈N*)
              ，且xn-λyn=2n，是否存在实数λ使得{xn}为“
              1
              2
              f（f（
              4
              3
              ））～不减数列”？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 8． 在数列{an}中，从数列{an}中选出n（n≥3）项并按原顺序组成新的数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的n项子列，例如an=
              1
              n
              ，数列
              1
              2
              ，
              1
              3
              ，
              1
              5
              ，
              1
              8
              为{an}的一个4项子列．
              （1）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；
              （2）若an=
              1
              n
              ，{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足-
              1
              8
              ＜d＜0；
              （3）若{an}是公差不为0的等差数列，其子列a k1，a k2，a k3，a kn，…恰为等比数列，且k1=1，k2=3，k3=7，令Sn=k1+k2+…+kn，求证：
              6
              32(S1+1+2)-12
              +
              6
              33(S2+2+2)-12
              +
              6
              34(S3+3+2)-12
              +…+
              6
              3n+1(Sn+n+2)-12
              ＜
              97
              340
              ．
              难度：中等
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            • 9． 定义在R上的函数f（x）=
              4x
              4x+2
              ，Sn=f（
              1
              n
              ）+f（
              2
              n
              ）+…+f（
              n-1
              n
              ），n=2，3，…
              （1）求Sn；
              （2）是否存在常数M＞0，∀n≥2，有
              1
              S2
              +
              1
              S3
              +…+
              1
              Sn+1
              ≤M．
              难度：中等
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            • 10． 如图所示，将一个边长为1的正方形沿中线对半分成面积相等的两个长方形，再将其中的一个长方形沿中线对半分成面积相等顶点两个正方形，如此下去，得到一系列小正方形，依次记这些小正方形的面积为a1，a2，a3，…
              （1）写出以这些小正方形面积构成的数列{an}的通项公式；
              （2）猜测所有这些小正方形面积的和大约是多少？
              难度：中等
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