知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：

印刷册数（千册）	2	3	4	5	8
单册成本（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D%5E%7B%281%29%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D%2B1.1$ ，方程乙： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%5E%7B%282%29%7D%7D%7By%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B6.4%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%2B1.6$ ．
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
①完成下表（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By_%7Bi%7D%7D%5E%7B%281%29%7D$		2.4	2.1		1.6
模型甲	残差 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Be_%7Bi%7D%7D%5E%7B%281%29%7D$		0	-0.1		0.1
模型乙	估计值 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By_%7Bi%7D%7D%5E%7B%282%29%7D$		2.3	2	1.9
模型乙	残差 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Be_%7Bi%7D%7D%5E%7B%282%29%7D$		0.1	0	0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁及Q₂，并通过比较Q₁，Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

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2．下列说法：①分类变量A与B的随机变量k²越大，说明“A与B有关系”的可信度越大②以模型y=ce^kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e⁴和0.3③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx中，b=2， $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%3D1$ ， $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%3D3$ ，则a=1．正确的有 ______ ．

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3．对两个变量x、y进行线性回归分析，计算得到相关系数r=-0.9962，则下列说法中正确的是（　　）

A．x与y正相关

B．x与y具有较强的线性相关关系

C．x与y几乎不具有线性相关关系

D．x与y的线性相关关系还需进一步确定

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4．已知回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D$ =0.85x-85.7，则该方程在样本（165，57）处的残差为（　　）

A．54.55

B．3.45

C．2.45

D．111.55

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5．下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数R²为（　　）

A．0.27

B．0.85

C．0.96

D．0.5

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6．对两个变量进行回归分析，则下列说法中不正确的是（　　）

A．有样本数据得到的回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ 必经过样本中心（ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ ）

B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好

C．用R²来刻画回归效果，R²越大，说明模型的拟合效果越好

D．若散点图中的样本呈条状分布，则变量y和x之间具有线性相关关系

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7．下列可以用来分析身高和体重之间的关系的是（　　）

A．残差分析

B．回归分析

C．等高条形图

D．独立性检验

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8．

适逢暑假，小王在某小区调查了50户居民由于洪灾造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）小王向班级同学发出为该小区居民捐款的倡议．若先从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这2户不在同一分组的概率；
（Ⅱ）洪灾过后小区居委会号召小区居民为洪灾重灾区捐款，小王调查的50户居民的捐款情况如表，在表格空白处填写正确的数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	合计
捐款超过500元	30	______	______
捐款不超过500元	______	6	______
合计	______	______	______

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ （其中n=a+b+c+d为样本容量）．

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9．已知x，y之间的一组样本数据如下表：
x $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 2 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ $2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$
y 30 40 50 60 70
观察散点图发现：这5组样本数据对应的点集中在二次曲线y=bx²+a附近．
（1）求y与x的非线性回归方程
（2）求残差平方和及相关指数R²．

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10．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
使用年限（x）年 2 3 4 5 6
维修费用（y）万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
求出线性回归方程 ______ ．

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x	$%20%5Csqrt%20%7B2%7D$	2	$%20%5Csqrt%20%7B5%7D$	$%20%5Csqrt%20%7B6%7D$	$2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$
y	30	40	50	60	70

使用年限（x）年	2	3	4	5	6
维修费用（y）万元	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0