知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，点P为圆E：（x-1）²+y²=r²（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．
（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点A（-1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q₁，Q₂，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q₁，Q₂都存在，且Q₁，Q₂不重合，则直线Q₁Q₂恒过定点，并求该定点坐标．

难度：中等

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2．设动点P（x，y）（x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设D（x₀，2）是曲线C上一点，与两坐标轴都不平行的直线l₁，l₂过点D，且它们的倾斜角互补．若直线l₁，l₂与曲线C的另一交点分别是M，N，证明直线MN的斜率为定值．

难度：中等

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3．已知直线y=k（x-2）与抛物线Γ：y2=
1
2
x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线Γ在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使
NA
•
NB
=0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．已知抛物线y=4x²，过点P（0，2）作直线l，交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，
（Ⅰ）求证：
OA
•
OB
为定值；
（Ⅱ）求△AOB面积的最小值．

难度：中等

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5．已知过点A（-4，0）作动直线m与抛物线G：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．
（1）当直线的斜率是
1
2
时，
AC
=4
AB
，求抛物线G的方程；
（2）设B、C的中点是M，利用（1）中所求抛物线，试求点M的轨迹方程．

难度：中等

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6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴交于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形
（1）求C的方程
（2）延长AF交抛物线于点E，过点E作抛物线的切线l₁，求证：l₁∥l．

难度：中等

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7．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点M（3，m）到焦点的距离等于5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和m的值；
（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=4
2
，求直线的方程．

难度：中等

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8．直线l过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|=8，求直线l的方程．

难度：中等

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9．已知点F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，
2
2
）满足线段MF的中点在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．

难度：中等

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10．斜率为1的直线经过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=（　　）

A．8

B．6

C．12

D．7

难度：较难

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