知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图一，在四边形PEBC中，PC=1，CB=
3
，∠CPE=
π
3
，∠PCB=
5π
6
，在边PE上取一点A，使PA=1（PE足够长），连结AC、AB，将△PAC与△EAB分别沿AC和AB折起，使平面PAC⊥平面ABC，且PE∥x，y，z（如图二）；过BC作平面交AP、AE分别于点M、N．

（1）求证：MN∥PE；
（2）设
AN
AP
=λ，求λ 的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°．

难度：中等

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2．已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直线AC与平面CBE所成角正弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．

难度：较难

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3．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足
A1P
=λ
A1B1
．
（1）当λ=1时，求证：直线PN⊥平面AMN；
（2）若平面PMN与平面AA₁C₁C所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

难度：中等

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4．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，DD₁=AD=2，A₁B₁=1，C₁E∥平面 ADD₁A₁．
（Ⅰ）证明：E为AB的中点；
（Ⅱ）求二面角A-C₁E-D的余弦值．

难度：中等

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5．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，点p在直线A₁B₁上运动，且
A1P
=λ
A1B1
（λ∈[0，1]）
（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最小？并指出该角取最小值时点P所在的位置；
（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．如图，平面α⊥平面β，平面α∩平面β=AB，P∈AB，C∈α，D∈β，且∠CPB=∠DPB=45°，则∠CPD= ．

难度：较易

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7．正三棱台A₁B₁C₁-ABC中，A₁B₁：AB=1：2，截面A₁BC与ABC的夹角为30°，求：
（1）截面A₁BC与底面ABC的面积之比；
（2）三棱台被截面A₁BC分成的上下两部分的体积之比．

难度：中等

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8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，截面BC₁D内的动点P到平面ABCD的距离到顶点C₁的距离相等，则动点P的轨迹的离心率为（　　）

A．

B．

C．1

D．

难度：较易

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9．如图所示，已知三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D-AP-C的正弦值．
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．

难度：中等

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10．如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥AB，PA⊥BC，D为BC的中点，PA=PD=2，AB=AC=4．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）在棱PB上是否存在点E，使得二面角E-AD-P的大小为45°，若存在，请求出PE的长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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