知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湛江一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2
3
，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．
（I）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•潍坊校级期末）如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求证：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若AB=a，AB₁=
6
2
a，求三棱锥C-ABB₁的体积．

难度：中等

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3．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F分别是A₁C，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：D₁E∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅲ）若A₁A=AB，求DF与平面A₁ADD₁所成角的正弦值．

难度：中等

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4．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=
1
2
CD，AB⊥AD，AB∥CD，点g（x）=f（x）-x²+2x是PC的中点．
（I）求证：MB∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出
PN
PB
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．

（2015秋•萍乡期末）《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，则当点E在下列四个位置：PA中点、PB中点、PC中点、PD中点时分别形成的四面体E-BCD中，蟞臑有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

难度：较难

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6．（2015秋•松原校级期末）如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为E、D．
（1）求证：DE⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=1，求直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

难度：较难

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7．（2014秋•保山校级期末）如图，半圆O的直径AB的长为4，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，sin∠EAB=
17
17
．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ABD的体积最大时，求直线CE与平面ADE的夹角的正弦值．

难度：较难

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8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AC的中点．证明：（1）BD₁⊥AC；（2）BD₁⊥EB₁．

难度：中等

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9．如图，四边形ABCD为矩形，DD₁⊥底面ABCD，AD=DD₁=
1
2
AB，点F为AD₁的中点．点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥FD；
（2）在棱AB（不包括A、B端点）上是否存在一点E，使得DF∥平面D₁CE，若存在，求出D₁E的长度；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．如图，在平面α内有一条线段AB，分别过A，B作平面α的垂线段AC，BD（在平面α的同一侧），且AC=2BD，连接CD，过B作AB的垂线BE．
（Ⅰ）求证：BE⊥CD；
（Ⅱ）若AB=BE=2，CE=4，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

难度：中等

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