知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点(2，
3
)，且离心率为
3
2
．椭圆上还有两点P、Q，O为坐标原点，连接OP、OQ，其斜率的积为-
1
4
．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：|OP|²+|OQ|²为定值，并求出此定值；
（3）求PQ中点的轨迹方程．

难度：较难

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2．已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足|
PM
|=2|
PN
|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点G（a，0）是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A、B两点，令f(a)=
GA
•
GB
，求f（a）的取值范围．

难度：较难

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3．如图：已知线段AB=4，动圆O₁与线段AB相切于点C，且AC-BC=2
2
，过点A，B分别作⊙O₁的切线，两切线相交于点P，且P、O₁均在AB的同侧．
（Ⅰ）建立适当坐标系，当O₁位置变化时，求动点P的轨迹E方程；
（Ⅱ）过点B作直线交曲线E于点M、N，求△AMN面积的最小值．

难度：中等

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4．已知圆C：x²+（y-3）²=4，点A（0，-3），M是圆上任意一点，线段AM的中垂线l和直线CM相交于点Q，则点Q的轨迹方程为．

难度：中等

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5．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）若定点P（1，1）分弦AB为
AP
PB
=
1
2
，求此时直线l的方程．

难度：较难

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6．已知点Q（x，y）位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（1）求动点Q（x，y）的坐标之间满足的关系式，并化简且指出横坐标x的范围；
（2）设（1）中的关系式表示的曲线为C，若直线l过点M（1，0）且交曲线C于不同的两点A、B，
①求直线l的斜率的取值范围；
②若点P满足
FP
=
1
2
(
FA
+
FB
)，且
EP
.
AB
=0，其中点E的坐标为（x₀，0）试求x₀的取值范围．

难度：较难

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7．已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是
1
2
．
（1）记动点P的轨迹为曲线D．求曲线D的方程，并说明方程表示的曲线；
（2）若M是圆E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围．

难度：中等

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8．（1）若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，求实数k的取值范围．
（2）由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，求动点P的轨迹方程．

难度：中等

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9．如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．
（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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10．已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求P点的轨迹方程；
（Ⅱ）求线段PQ长的最小值，并求此时PQ的斜率．

难度：较难

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