知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．水以20米³/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．

难度：中等

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2．已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t₀所走过的路程为．

难度：中等

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3．省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|
x
x2+1
-a|+2a+
2
3
，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，
1
2
]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=
x
x2+1
，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

难度：较难

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4． (
3 x
+
1
3 x2
)6的展开式中第4项的值是-40，则
lim
n→∞
(1+x+x2+…+xn)= ．

难度：中等

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5．设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f^′（x）满足
0＜f^′（x）＜1”
（I）证明：函数f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）是集合M中的元素；
（II）证明：函数f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，
1
2
），都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．

难度：较难

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6．作直线运动的某物体，其位移s与时间t的关系为s=3t-t²，t∈[0，+∞），则其初速度为（　　）

B．3

C．-2

D．3-2t

难度：较易

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7．设点B在点A的正东方向60cm处，现在A、B两点同时开始运动，A以15cm/s的速度向东，B以10cm/s的速度向北做匀速直线运动，求变动的AB连线长在第2秒末的速率．

难度：中等

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8．已知物体的运动方程为s=t²+

（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：中等

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9．某汽车启动阶段的路途函数是s（t）=2t³-5t²，则t=2秒时，汽车的加速度是．

难度：较易

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10．（文）某种新型快艇在某海域匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=
1
144000
x3-
1
360
x+3(0＜x≤120)．该海域甲、乙两地相距120千米．
（I）当快艇以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当快艇以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少约为多少升？（精确到0.1升）．

难度：中等

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