知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前项和为S_n，若
Sn
S2n
为常数，则称数列{a_n}为“精致数列”．已知等差数列{b_n}的首项为1，公差不为0，若数列{b_n}为“精致数列”，则数列{b_n}的通项公式为．

难度：中等

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2．设数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，我们称满足条件“对任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）”的数列{a_n}为“L数列”．现已知数列{a_n}为“L数列”，且a₂₀₁₆=3000，则a_n= ．

难度：中等

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3．各项均为正数的数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n-a_n+2≤-3×2ⁿ，则a₂₀₁₆= ．

难度：中等

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5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}各项均为正数，且a₁=1，a_n+1²-a_n+1=a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
1
a
2
n
，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}是首项和公差相等的等差数列，其前n项和为S_n，且S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）设bn=
1
Sn
，数列{b_n}的前项和T_n，求T_n的取值范围．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足a1=
1
2
，且当n≥2，且n∈N^*时，有
an-1
an
=
an-1+2
2-an
，
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）已知函数f(n)=(
9
10
)n(n∈N+)，试问数列{
f(n)
an
}是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=2x+1，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₁=2，T_n=b_n+1-2（n∈N）．
（1）分别求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）定义x=[x]+（x），[x]为实数x的整数部分，（x）为小数部分，且0≤（x）＜1．记c_n=(
an
bn
)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．设数列{a_n}，a₁=4，a_n+1=3a_n+2n-1
（1）求证{a_n+n}是等比数列
（2）求a_n．

难度：中等

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