知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．（1）已知圆0₁：（x-3）²+（y-4）²=1．P（x，y）为圆O上的动点．求d=x²+y²的最大、最小值．
（2）己知圆0₂．（x+2）²+y²=1．P（x．y）为圆上任-点，求
y-2
x-1
的最大、最小值．求x-2y的最大、最小值．

难度：较难

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2．如图l是东西走向的一水管，在水管北侧有两个半径都是10m的圆形蓄水池A，B（A，B分别为蓄水池的圆心），经测量，点A，B到水管l的距离分别为55m和25m，AB=50m．以l所在直线为x轴，过点A且与l垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（O为坐标原点）．
（1）求圆B的方程；
（2）计划在水管l上的点P处安装一接口，并从接口出发铺设两条水管，将l中的水引到A，B两个蓄水池中，问点P到点O的距离为多少时，铺设的两条水管总长度最小？并求出该最小值．

难度：中等

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3．已知圆O：x²+y²=1和直线l：x=3，在x轴上有一点Q（1，0），在圆O上有不与Q重合的两动点P、M，设直线MP斜率为k₁，直线MQ斜率为k₂，直线PQ斜率为k₃．
（1）若k₁k₂=-1
①求出点P的坐标；
②MP交l与P′，MQ交l与Q′．求证：以P′Q′为直径的圆，总过定点，并求出定点的坐标；
（2）若k₂k₃=2，判断直线PM是否经过定点，若有，求出来；若没有，请说明理由．

难度：较难

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4．已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=
π
2
时，求k的值．
（2）若EF、GH为圆O：x²+y²=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，
2
2
），求四边形EGFH的面积的最大值．

难度：较难

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5．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x与圆心在第二象限的圆C相切于原点O，且圆C与圆C′：x²+y²-2x-2y-6=0的面积相等．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0，及点Q（-2，3）．
（1）P（a，a+1）在圆上，求直线PQ的斜率；
（2）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）求
y-3
x+2
的最大值和最小值．

难度：中等

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7．已知圆C的圆心为（3，0），且经过点A（4，1），直线l：y=x．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C₁与圆C关于直线l对称，点B、D分别为圆C、C₁上任意一点，求|BD|的最小值；
（3）已知直线l上一点P在第一象限，两质点M、N同时从原点出发，点M以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点N以每秒2
2
个单位沿射线OP方向运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时直线MN与圆C相切？

难度：较难

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8．已知直线l：ax+by+c=0及圆P：x²+y²=1，其中a，b，c满足条件：a²+b²=k²c²，其中（c≠0，k≠0）
（1）试讨论直线l与圆P的位置关系，
（2）若直线l被圆P截得的弦长为1，求k的值．

难度：中等

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9．如图，已知⊙O′：x²+（y+
6
3
m）²=4m²（m＞0）及点M（0，
6
3
m），在⊙O′上任取一点M′，连接MM′，并作MM′的中垂线l，设l与直线O′M′交于点P，若点M′取遍⊙O′上的点．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与轨迹C相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点D，若
AD
=2
DB
，求△OAB的面积取得最大值时轨迹C的方程．

难度：中等

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10．已知圆O：x²十y²=l和直线l：x=3，在x轴上有一点Q（1，0），在圆O上有不与Q重合的两动点P、M，设直线MP斜率为k₁，直线MQ斜率为k₂，直线PQ斜率为k₃．
（l）若k₁k₂=-1，求出P点坐标；
（2）若k₂k₃=2，判断直线PM是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．

难度：中等

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