知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P（x，y）在圆x²+y²-6x-6y+14=0上．
（1）求
y
x
的最大值和最小值；
（2）求x²+y²+2x+3的最大值与最小值．

难度：中等

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2．如图，圆C：x²-（1+a）x+y²-ay+a=0．
（1）若圆C的半径为
1
2
，求圆C的方程；
（2）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x²+y²=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．直线l过圆（x-2）²+（y+2）²=25内一点M（2，2），则l被圆截得的弦长恰为整数的直线共有（　　）

A．8条

B．7条

C．6条

D．5条

难度：中等

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4．在平面直角坐标系中，圆心坐标均为（2，2）的圆Ⅰ、圆Ⅱ、圆Ⅲ半径分别为4，2，1，直线y=
3
4
x+3与圆Ⅰ交于点A，B，点C在圆Ⅰ上，满足线段CA和线段CB与圆Ⅱ均有公共点，点P是圆Ⅲ上任意一点，则△APB与△APC面积之比的最大值为．

难度：中等

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5．已知圆C经过点A（3，2）和B（3，6）．
（I）求面积最小的圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过定点T（1，0），且与（I）中的圆C相切，求l的方程．

难度：中等

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6．已知直线x-2y+2=0与圆C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦长为
2
5
5
．
（1）求圆C的方程；
（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数y=x²的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线MN与圆C相切；
（3）若函数y=x²图象上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断线QR与圆C的位置关系，并加以证明．

难度：较难

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7．已知圆O：x²+y²=1与y轴的负、正半轴分别交于点F₁、F₂，垂直于y轴的直线m与二次函数y=
1
4
x2的图象交于不同的两点P，Q且
F1P
•
F2Q
=-5．
（1）判断直线m与圆O的位置关系；
（2）过点M（-3，0）作直线l与圆O交于A，B两点，设
MA
=λ
MB
，若λ∈[
3
2
，2]，求|
MA
+
MB
|的取值范围．

难度：较难

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8．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；
（1）设圆C₀：x²+y²=1，求过P（2，0）的直线关于圆C₀的距离比λ=
3
的直线方程；
（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=
2
，求此圆C的方程；
（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C₁：（x+1）²+y²=1与C₂：（x-3）²+（y-3）²=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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9．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：kx-y-5k+4=0．
（1）若直线l平分圆C，求k的值；
（2）若直线l被圆C截得的弦长为6，求k的值．

难度：中等

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10．如图所示，某机械转动的三个齿轮啮合传动．若A轮的直径为180mm，B、C两轮的直径都是120mm，且∠ABC=70°，求A、C两齿轮的中心距离（精确到1mm）．

难度：较易

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