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          共50条信息

            • 1． 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，2AC=PC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为AC，AB，AP的中点，M，N分别为线段PC，PB上的动点，且有MN∥BC，
              （Ⅰ）求证：MN⊥平面PAC
              （Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角E-MN-F为直二面角？若存在，求CM的长度，若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 2． 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为线段AD的中点．
              （1）求直线MF与直线BD所成角的余弦值；
              （2）若平面ABF与平面DBF所成角为θ，且tanθ=2
              		2
              ，求线段AB的长．
              难度：中等
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            • 3． 如图，设四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=
              		2
              a点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
              （1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
              （2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．
              难度：较难
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            • 4． 已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．
              （1）若点O恰好落在边AD上，
              ①求证：AB1⊥平面B1CD；
              ②若B1O=1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值
              （2）当k=
              		3
              时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围．
              难度：中等
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            • 5． 过原点的直线交双曲线x2-y2=4
              		2
              于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角，则折后PQ长度的最小值等于（　　）
              A．2
              		2
              B．4
              C．4
              		2
              D．3
              		2
              难度：较难
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            • 6． 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，P为A1B上的点．
              （1）试确定
              A1P
              PB
              的值，使得PC⊥AB；
              （2在直线A1B上找一点P使二面角P-AC-B的大小为60°，求
              A1P
              PB
              的值；
              （3）在（2）条件下，求C1到平面PAC的距离．
              难度：较难
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            • 7． 在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC=AB=
              		3
              ，BC=
              		6
              ，∠PBA=
              π
              3
              ，点D，E，F分别是PA、PB、PC上的点并且满足PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
              （Ⅰ）求证：AB⊥DF；
              （Ⅱ）设平面ABC与平面AEF所成角为θ，求cosθ的值．
              难度：中等
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            • 8． 如图所示，在平面α内有一边长为a的等边△ABC，在△ABC中，DE∥BC，沿DE将△ABC折起，使它和△ABC所在半平面成60°的二面角，问直线DE取在何处，折起后的三角形顶点A（可记A′）到BC边的距离最短，最短距离是多少？
              难度：中等
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            • 9． 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，C到AB的距离大于1，AA1=AB=2，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．
              （1）求证：CD⊥DE；
              （2）设二面角A1-AC1-B1的正切值为
              		14
              ，求异面直线AB1与CD的夹角的大小．
              难度：中等
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            • 10． 如图，边长为2的正方形ABCD中，E是AB边上的点，F是边BC上的点，且BE=BF，若将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A1．
              （1）当BE=BF=
              1
              2
              BC时，求三棱锥A1-EFD的体积；
              （2）当BE=BF=
              1
              2
              BC时，求二面角A1-EF-D的平面角的正切值；
              （3）当E、F点在何位置时，点A1在正方形ABCD的对角线BD上．
              难度：中等
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