知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

4．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n²+n（n∈N^*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）

A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）

B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）

D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

难度：中等

5．用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²，从n=k到n=k+1，等号左边需增加的代数式为．

难度：中等

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6． [B]已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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7．用数学归纳法证明6^2n-1+1（n∈N^•）能被7整除．

难度：中等

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8．变式：用数学归纳法证明1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
（n≥2，n∈N^*）

难度：中等

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9．已知f′（x）是函数f（x）=ln（1+x）的导函数，设g（x）=xf′（x），x≥0．
（1）证明：f（x）≥g（x）；
（2）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，归纳并用数学归纳法证明g_n（x）的表达式．

难度：中等

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10．设n≥2，且n∈N^*，证明：（1+
1
3
）（1+
1
5
）（1+
1
7
）…（1+
1
2n-1
）＞
2n+1
2
．

难度：中等

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