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          共50条信息

            • 1． 由下列式子　1＞
              1
              2

              1+
              1
              2
              +
              1
              3
              ＞1
              1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +
              1
              4
              +
              1
              5
              +
              1
              6
              +
              1
              7
              ＞
              3
              2

              1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +…+
              1
              15
              ＞2
              …
              猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明．
              难度：中等
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            • 2． 用数学归纳法证明不等式1+
              1
              2
              +
              1
              4
              +…+
              1
              2n-1
              ＞
              127
              64
              成立，起始值至少应取为（　　）
              A．7
              B．8
              C．9
              D．10
              难度：中等
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            • 3． 用数学归纳法证明：1+
              1
              22
              +
              1
              32
              +…+
              1
              (2n-1)2
              ＜2-
              1
              2n-1
              (n≥2)              （n∈N*）时第一步需要证明（　　）
              A．1＜2-
              1
              2-1
              B．1+
              1
              22
              ＜2-
              1
              22-1
              C．1+
              1
              22
              +
              1
              32
              ＜2-
              1
              22-1
              D．1+
              1
              22
              +
              1
              32
              +
              1
              42
              ＜2-
              1
              22-1
              难度：较易
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            • 4． 设a＞2，给定数列{an}，a1=a，an+1=
              an2
              2(an-1)
              （n∈N+）．求证：an＞2，且an+1＜an（n∈N+）．
              难度：较难
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            • 5． 已知数列{an}中，a2=a+2（a为常数），Sn为{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．
              （Ⅰ）求a1，a3；
              （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅲ）若bn=3n且a=2，Tn为数列{an•bn}的前n项和，求
              lim
              n→∞
              Tn-n•3n+1
              bn
              的值．
              难度：较难
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            • 6． 已知数列{an}中，a1=1，且an=
              n
              n-1
              an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N∗）．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）令bn=
              3n-1
              an
               （n∈N∗），数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2与n的大小；
              （3）令cn=
              an+1
              n+1
               （n∈N*），数列{
              2cn
              (cn-1)2
              }的前n项和为Tn．求证：对任意n∈N*，都有 Tn＜2．
              难度：较难
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            • 7． 设函数fn（x）=Cn2+Cn3x+Cn4x2+…+Cnnxn-2（n∈N，n≥2），当x＞-1，且x≠0时，证明：fn（x）＞0恒成立．
              难度：较难
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            • 8． 已知数列{an}满足a1=a，an+1=
              1
              2-an
              ．
              （Ⅰ）依次计算a2，a3，a4，a5；
              （Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明．
              难度：中等
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            • 9． 在数列|an|中，a1=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：an+1（an+tn-1）=an（tn+1-1），（n∈N+）
              （1）猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之；
              （2）求证：an+1＞an，（n∈N+）．
              难度：较难
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            • 10． 设0＜a＜1，f(logax)=
              a(x2-1)
              (a2-1)x
              ，
              （Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
              （Ⅱ）解关于x的不等式：f（ax）+f（-2）＞f（2）+f（-ax）
              （Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
              （文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．
              难度：较难
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