知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，离心率为
6
3
，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于4
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x²+y²=12上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N₁（点N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴的交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为
2
5
5

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，
ON
=λ（
OB
+
OM
），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（2，
2
）且离心率等于
2
2
，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．

难度：中等

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5．如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x²+（y-1）²=r²（r＞0），圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
TA
•
TB
的最小值，并求出此时圆T的方程；
（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与Y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：|OM|•|ON|为定值．

难度：较难

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，|F1F2|=2
2
，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于4
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

难度：中等

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7．当α∈（

，

3π

）时，方程x²sinα-y²cosα=1表示的曲线是（　　）

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线

D．焦点在y轴上的双曲线

难度：较易

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8．椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，离心率e=
1
2
，焦点F₁、F₂在x轴上，过左焦点F₁ 与A 做直线交椭圆E于B．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△ABF₂的面积．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：（x+1）²+y²=
49
4
的圆心为M，圆N：（x-1）²+y²=
1
4
的圆心为N，一动圆C与圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若
OA
•
OB
=-2，求直线l的方程．

难度：中等

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10．如图所示，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，E的右焦点到直线y=x+1的距离为
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆E交于M，N两点，且以MN为直径的圆过A，求证：直线l恒过定点，并求出此定点坐标．

难度：中等

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