知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义
.
abc
是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把
.
abc
的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为
.
a1b1c1
，对于n＞1且n∈N，
.
anbncn
=f(
.
an-1bn-1cn-1
)，将
.
anbncn
的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d_n
（Ⅰ）当
.
abc
=636时，求
.
a1b1c1
，
.
a2b2c2
及d₂的值；
（Ⅱ）若d₁=6，求证：当n＞1时，d_n=5；
（Ⅲ）求证：对任意三位数
.
abc
，n≥6时，
.
anbncn
=495．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求Sn-n•2n+1+50＜0成立的正整数n的最小值．

难度：中等

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3．等差数列{a_n}的首项a₁=
1
2
，前三项和为
9
2
，点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函数y=log₃2x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=3^b_n+2ⁿ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，S_n为其前n项和，且an=
S2n-1
（n∈N^*）．若不等式
λ
an
≤
n+8
n
对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的最大值为．

难度：中等

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5．设函数f（x）=
x
2
+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{x_n}．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）令b_n=
xn
2π
，设数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和为s_n，求证S_n＜
3
2
．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1，△ABC的三边长之比为a₃：a₄：a₅，则△ABC的最大角的余弦值为（　　）

A．

B．-

C．-

D．-

难度：较难

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7．已知二次函数f（x）=x²+ax+b图象的对称轴为x=
1
2
，且f（1）=0，数列{a_n}满足a_n=f（2n+1）-f（2n）-1．
（1）求数列{a_n}的前30项和；
（2）若a_m，a_t（m，t∈N^*）是数列{a_n}中的项，试判断2a_m+3a_t是否是数列{a_n}中的项，并说明理由．

难度：中等

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8．已知点A，B，C在一条直线上，点O为直线AB外一点，等差数列{a_n}满足

=a₅

+a₂₀₁₂

，数列{b_n}满足b₁=2，且对任意的m，n∈N^*，都有

bn+m

=b₁，则数列{a_n+b_n}的前2016项的和为（　　）

A．1006+2²⁰¹⁷

B．1010+2²⁰¹⁶

C．1006+2²⁰¹⁶

D．2014+2²⁰¹⁷

难度：较易

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9．已知函数f（x）=x²-x+1，g（x）=e^x（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）设F（x）=f（x）-kg（x）（k∈R），当k取何值时，函数F（x）恰有两个零点？
（Ⅱ）记g（x）的反函数为g^-1（x），证明：对任意x∈（0，+∞），都有g（-x）-g^-1（x）＜
2
ex
；
（Ⅲ）数列{a_n}满足a₁=
f(2)
2
，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求S=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2015
的整数部分．

难度：中等

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10．已知二次函数y=f（x）的对称轴为x=-2，且过点（0，-8）与（2，4）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．求此数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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