知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为2，抛物线E：x²=2y的准线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点且与抛物线E在第一象限相切于点P，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M，求
S△PFG
|OG|
的最小值及此时点P的坐标．

难度：中等

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2．过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作x轴的垂线，与椭圆C在第一象限内交于点A，过A作直线x=
a2
c
的垂线，垂足为B，|AF|=
3
3
，|AB|=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为圆E：x²+y²=4上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线l₁、l₂，设l₁、l₂分别交圆E于点M、N，证明：MN为圆E的直径．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，并且过点P（2，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB斜率为k₁，直线AD斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．

难度：中等

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5．如图所示，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(
2
，
2
)，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆E交于P、A两点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C点，直线AC交椭圆E与另一点B，当k=
2
时，椭圆E的右焦点到直线l的距离为
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问∠APB是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由．

难度：中等

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6．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，以原点为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2），设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆上．

难度：较难

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点A(
2
2
，
3
2
)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=
5
3
上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足
PM
=
NQ
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．（1）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
7
x-
5
y+12=0相切．求椭圆C的方程；
（2）已知⊙A₁：（x+2）²+y²=12和点A₂（2，0），求过点A₂且与⊙A₁相切的动圆圆心P的轨迹方程．

难度：中等

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9．已知椭圆C₁：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的离心率为
3
2
，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点是椭圆的顶点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点M（-1，0）作抛物线的切线l，求切线l的方程．

难度：中等

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10．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）离心率e=
2
2
，过C（-1，0）点且斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，且C点分有向线段
AB
所成的比为3．
（1）求该椭圆方程；
（2）P，Q为椭圆上两动点，满足
OP
•
OQ
=0，探求
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值，并说明理由．

难度：中等

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