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          共50条信息

            • 1． 已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设fn（x）是fn-1（x）的导数，n∈N*．
              （1）求f1（x），f2（x）的表达式；
              （2）写出fn（x）的表达式，并用数学归纳法证明．
              难度：较难
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            • 2． 已知数列{an}满足an=
              an+1-a-n-1
              a-a-1
              （n∈N*），a≠-1，0，1，设b=a+
              1
              a
              ．
              （1）求证：an+1=ban-an-1（n≥2，n∈N*）；
              （2）当n（n∈N*）为奇数时，an=
              n-1
              2
              i=0
              (-1)i              C
               
              i
              n-1
              bn-2i，猜想当n（n∈N*）为偶数时，an关于b的表达式，并用数学归纳法证明．
              难度：较难
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            • 3． n2（n≥4，n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=
              a11a12a13a14…a1n
              a21a22a23a24…a2n
              a31a32a33a34…a3n
              ………
              an1an2an3an4…ann
              ，其中aij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a22=6，a33=16．
              （Ⅰ） 求a11和aij．
              （Ⅱ）设An=a1n+a2（n-1）+a3（n-2）+…+an1．
              ①求An；
              ②证明：当n是3的倍数时，An+n能被21整除．
              难度：中等
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            • 4． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=-
              2
              3
              ，Sn+
              1
              Sn
              +2=an(n≥2)              ．
              （1）计算S1，S2，S3，S4的值；
              （2）猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：较易
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            • 5． 等式12+22+32+…+n2=
              1
              2
              （5n2-7n+4）（　　）
              A．n为任何正整数都成立
              B．仅当n=1，2，3时成立
              C．当n=4时成立，n=5时不成立
              D．仅当n=4时不成立
              难度：中等
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            • 6． 用数学归纳法证明：
              （1）2+4+6+…+2n=n2+n；
              （2）12+22+32+…+n2=
              n(n+1)(2n+1)
              6
              ；
              （3）13+23+33+…+n3=[
              1
              2
              n（n+1）]2．
              难度：中等
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            • 7． 用数学归纳法证明：当n∈N+时，1+22+33+…+nn＜（n+1）n．
              难度：中等
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            • 8． 用数学归纳法证明（1-
              1
              4
              ）（1-
              1
              9
              ）（1-
              1
              16
              ）…（n-
              1
              n2
              ）=
              n+1
              2n
              （n≥2，n∈N*）．
              难度：中等
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            • 9． 对于数列{an}，a1=a+
              1
              a
              （a＞0．，且a≠1），an+1=a1-
              1
              an
              ．
              （1）求a2，a3，a4，并猜想这个数列的通项公式；
              （2）用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：中等
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            • 10． 有下列命题：
              （1）
              		3
              +
              		7
              ＜2+
              		6
              ；
              （2）若a≥b＞0，n∈N*，且n≥2，则有
              na
              ≥
              nb
              ；
              （3）1+3+5+…+（2n-1）=n2（n∈N*）；
              （4）nn+1＞（n+1）n对-切n∈N*且n≥3恒成立．
              以上命题适合使用数学归纳法证明的序号是    ．
              难度：中等
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