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          共50条信息

            • 1． 定义
              .
              abc
              是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把
              .
              abc
              的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为
              .
              a1b1c1
              ，对于n＞1且n∈N，
              .
              anbncn
              =f(
              .
              an-1bn-1cn-1
              )              ，将
              .
              anbncn
              的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为dn
              （Ⅰ）当
              .
              abc
              =636时，求
              .
              a1b1c1
              ，
              .
              a2b2c2
              及d2的值；
              （Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，dn=5；
              （Ⅲ）求证：对任意三位数
              .
              abc
              ，n≥6时，
              .
              anbncn
              =495．
              难度：中等
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            • 2． 设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn．
              （1）求
              T3
              S3
              ，
              T4
              S4
              ，
              T5
              S5
              ，
              T6
              S6
              的值；
              （2）猜想
              Tn
              Sn
              的表达式，并证明之．
              难度：较难
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            • 3． 数列{bn}满足b1=1，bn+1=
              bn
              1+2bn

              （1）求b2、b3、b4并猜想数列{bn}的通项公式；
              （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
              （3）设cn=bnbn+1，求数列{cn} 的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 4． 数列{an}满足an+1=
              2an-9
              an-4
              (n∈N+)              ，且a1=2．
              （1）写出a2，a3，a4的值；
              （2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
              （3）设bn=(an+1-3)(an-3)(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 5． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-
              1
              2
              ，Sn=-
              1
              Sn-1+2
              (n≥2)
              （1）计算S1，S2，S3，S4；
              （2）猜想Sn的表达式，并证明你的结论．
              难度：中等
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            • 6． 证明：1×22-2×33+…+（2n-1）（2n）2-2n（2n+1）2=-n（n+1）（4n+3）（n∈N+）
              难度：中等
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            • 7． 一个与正整数n有关的命题，当n=2时命题成立，且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立，则（　　）
              A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
              B．该命题对于所有的正偶数都成立
              C．该命题何时成立与k取值无关
              D．以上答案都不对
              难度：较易
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            • 8． 在数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥2，n∈N+）．
              （I）求a2，a3，a4的值；
              （2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法来证明．
              难度：中等
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            • 9． 利用数学归纳法证明不等式：
              1
              2
              ×
              3
              4
              ×…×
              2n-1
              2n
              ＜
              1
              		2n+1
              （n∈N*）
              难度：中等
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            • 10． 用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N+）
              难度：中等
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